[juantv]

Revisando una proposición acerca de si un vector es combinación lineal de otros dos (por ejemplo vectores de \( \mathbb{R}^2 \)), me confundo al darle un valor de verdad (probar) a esta:

"si \( \mathbf a \), \( \mathbf b \), \( \mathbf c \) \( \in \) \( \mathbb{R}^2 \) , \( \mathbf c \) no es combinacion lineal de \( \mathbf a \) y \( \mathbf b \) si (o si y solo si) \( \mathbf a = \lambda \mathbf b \) ( \( \lambda \neq{0} \) , o lo que es lo mismo si son paralelos )"

se me ocurre esto:

si  \( \mathbf a = \lambda \mathbf b \) y c es combinacion lineal de \( \mathbf a \) y \( \mathbf b \) quiere decir que \( \mathbf c = \lambda _1 \mathbf a + \lambda _2 \mathbf b \) con lo que \( \mathbf c = (\lambda _1 \lambda  + \lambda _2)\mathbf b \) o lo que es lo mismo \( \mathbf c = (\lambda _1 \lambda  + \lambda _2)\mathbf b + 0\mathbf a \) , entonces que puedo concluir? no puedo decir que demostré que c es combinación lineal de a y b por que lo asumí desde el principio, verdad?

No sé cómo llegar a una verdad o falsedad acerca de la proposición (no sé cómo empezar debidamente), ¿cuándo un vector no es (no se puede expresar como) combinación lineal de otros dos (por ejemplo para  \( \mathbb{R}^2 \)) ?


Agradezco su orientación al respecto

[Lycan]

Si \( {\bf c} \) no es combinación lineal de \( {\bf a} \) y \( {\bf b} \), entonces \( {\bf c} \) no está en el espacio generado por \( {\bf a} \) y \( {\bf b} \). Con esto estamos diciendo que \( \langle {\bf a},{\bf b}\rangle \) es un subespacio propio de \( {\bf R}^2 \), es decir o es una recta o es el espacio que consta de sólo el punto de origen, en cualquier caso \( {\bf a}=\lambda{\bf b} \).

Un saludo.

[juantv]

no me queda muy claro, apenas estoy empezando el curso.
quieres decir que la proposición es verdadera? , no he visto subespacios.

[Lycan]

Si, la conclusión es verdadera. Intuitivamente los únicos subespacios de \( {\bf R}^2  \) son: el punto de origen \( (0,0) \), las lineas rectas que pasan por el origen y el mismo  \( {\bf R}^2 \).

El espacio generado por dos puntos es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos dos, en este link hay más detalles

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_generado

[teeteto]

Se puede hacer sin conocer subespacios del siguiente modo:

Ponemos \( a=(a_1,a_2) \), \( b=(b_1,b_2) \) y \( c=(c_1,c_2) \).

Si c no es combinalción lineal de a y b es porque el sistema obtenido a partir de la igualdad \( c=xa+yb \) no tiene solución. La matriz de coeficientes de ese sistema es \( \begin{bmatrix}{a_1}&{b_1}\\{a_2}&{b_2}\end{bmatrix} \). Para que no tenga solución esa matriz ha de tener rango 1, es decir, sus dos columnas son proporcionales.

[feriva]

Revisando una proposición acerca de si un vector es combinación lineal de otros dos (por ejemplo vectores de \( \mathbb{R}^2 \)), me confundo al darle un valor de verdad (probar) a esta:

"si \( \mathbf a \), \( \mathbf b \), \( \mathbf c \) \( \in \) \( \mathbb{R}^2 \) , \( \mathbf c \) no es combinacion lineal de \( \mathbf a \) y \( \mathbf b \) si (o si y solo si) \( \mathbf a = \lambda \mathbf b \) ( \( \lambda \neq{0} \) , o lo que es lo mismo si son paralelos )"

se me ocurre esto:

si  \( \mathbf a = \lambda \mathbf b \) y c es combinacion lineal de \( \mathbf a \) y \( \mathbf b \) quiere decir que \( \mathbf c = \lambda _1 \mathbf a + \lambda _2 \mathbf b \) con lo que \( \mathbf c = (\lambda _1 \lambda  + \lambda _2)\mathbf b \) o lo que es lo mismo \( \mathbf c = (\lambda _1 \lambda  + \lambda _2)\mathbf b + 0\mathbf a \) , entonces que puedo concluir? no puedo decir que demostré que c es combinación lineal de a y b por que lo asumí desde el principio, verdad?

No sé cómo llegar a una verdad o falsedad acerca de la proposición (no sé cómo empezar debidamente), ¿cuándo un vector no es (no se puede expresar como) combinación lineal de otros dos (por ejemplo para  \( \mathbb{R}^2 \)) ?


Agradezco su orientación al respecto

Hola. Puedes poner un escalar en función de otro

\( \lambda_{2}=k\lambda_{1} \)

y de ahí

\( c=\lambda_{1}(\lambda b+kb)\Rightarrow c=\lambda_{1}(\lambda+k)b \).

Si \( \lambda=0 \) entonces

\( c=\lambda_{1}kb \)

y de ahí

\( \lambda_{1}kb=\lambda_{1}(\lambda b+kb)\Rightarrow kb=\lambda b+kb\Rightarrow\lambda b=\vec{0}\Rightarrow k=0\Rightarrow c=\vec{0} \)

y no existe combinación lineal en ese caso.

Saludos