[CarlosRod]

¿Que ejemplos resueltos tendría como respuesta este problema?:

5- Al resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, ¿Qué tipo de solución es posible obtener? Muestra un ejemplo (resuelto) de cada uno.

[mathtruco]

Hola CarlosRod,

 nota que el rango de la matriz de coeficientes siempre es igual al rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema siempre tiene solución (de hecho, es fácil ver que la solución nula es siempre solución). Por tanto hay sólo dos opciones: tiene única solución (la nula) o tiene infinitas.

[CarlosRod]

¿Pero como sería un ejemplo de cada una de esas opciones?

[mathtruco]

Escribe un sistema homogéneo con dos ecuaciones y dos incógnitas (o tres ecuaciones y tres incógnitas) cuya matriz de coeficientes tenga determinante no nulo.

Escribe un sistema homogéneo con dos ecuaciones y dos incógnitas (o tres ecuaciones y tres incógnitas) cuya matriz de coeficientes tenga determinante igual a cero.

Escribe un sistema homogéneo con dos ecuaciones y tres incógnitas y analiza.

Escribe estos ejemplos y analízalos. Acá revisamos las conclusiones a las que llegas.

[CarlosRod]

Tengo este que tendria una unica solución:

-2x+4y+5z=0
5x+y-3z=0
6x-y+4z=0

Y este con infinitas soluciones:

x+2y-4z=0
2x+7y+3z=0

¿Pero como se resolverian?

[mathtruco]

Para tu primer ejemplo:

nota que el rango de la matriz de coeficientes siempre es igual al rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema siempre tiene solución (de hecho, es fácil ver que la solución nula es siempre solución). Por tanto hay sólo dos opciones: tiene única solución (la nula) o tiene infinitas.

En el caso de que haya más de una solución, es decir, hayan infinitas soluciones, siempre quedará al menos una variable que dependa de otra:

\( \begin{array}{rcl|}x+2y-4z&=&0\\2x+7y+3z&=&0\\ \hline\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{rcl|}-3y-11z&=&0\\2x+7y+3z&=&0\\ \hline\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{rcl|}-21y-77z&=&0\\6x+21y+9z&=&0\\ \hline\end{array} \)

\( \Leftrightarrow\begin{array}{rcl|}-21y-77z&=&0\\6x-68z&=&0\\ \hline\end{array} \)

Definiendo \( t:=z \) y despejando obtenemos que \( (\frac{68}{6}t,\frac{-77}{21}t,t) \) son las infinitas soluciones del sistema (donde \( t \) es cualquier real)