[yotas]

¡Buenas buenas!

Quisiera algún consejo para el siguiente ejercicio:

Demuestre que un grupo abeliano no es cíclico si y sólo si contiene un subgrupo isomorfo a \( Z_p \times Z_p \) para algún primo \( p \).

¡Gracias por las ayudas y comentarios! 

[numbsoul]

Como todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico y \( \mathbb{Z}_{p}\times \mathbb{Z}_{p} \) no lo es, vemos que vale la vuelta.

Para la ida, observa que si todo subgrupo de Sylow del grupo es cíclico, entonces todo el grupo lo sería (porque si \( a,b\in\mathbb{N} \) son coprimos, se tiene \( \mathbb{Z}_{a}\times \mathbb{Z}_{b}=\mathbb{Z}_{ab} \) y el grupo es suma directa de sus grupos de Sylow, por ser abeliano). Por lo tanto existe \( p \) primo tal que algún \( p \)-Sylow \( H \) no es cíclico.

Por lo tanto, basta ver que el teorema vale para \( p \)-grupos abelianos

[yotas]

¡Gracias!

¿No se puede usar un argumento sin los p-grupos? Aún no los he estudiado y por tanto no sé cómo usarlo.

[Gustavo]

¿Ya viste que todo grupo abeliano finito puede expresarse como producto de cíclicos con orden potencia de primos?

[yotas]

¿Ya viste que todo grupo abeliano finito puede expresarse como producto de cíclicos con orden potencia de primos?

¡Sí! 

[Gustavo]

Bueno, entonces supón que \( G=\Bbb Z_{p_1^{a_1}}\times\cdots\times\Bbb Z_{p_n^{a_n}}. \) El producto \( \Bbb Z_m\times\Bbb Z_n \) es cíclico si y sólo si \( (m,n)=1, \) así que, como \( G \) no es cíclico, existen \( i \) y \( j \) tales que \( (p_i^{a_i},p_j^{a_j})\neq 1. \) Es decir que \( p_i=p_j. \)

Nota ahora que \( \Bbb Z_p \) es subgrupo de \( \Bbb Z_{p^n}. \) Luego \( \Bbb Z_{p_i}\times \Bbb Z_{p_i}\cong \{e\}\times\cdots\times\Bbb Z_{p_i}\times\cdots\times\Bbb Z_{p_j}\times \cdots\times\{e\} \) es subgrupo de \( G. \)

Seguro que puede escribirse mejor, pero esa es la idea.