Hola
Utilizamos que la probablidad serán los caso favorables dividido entre los casos totales.
Contaremos las posibilidades teniendo en cuenta también el orden en el que sacamos los billetes.
Está claro entonces que:
- Casos totales = 6n(6n-1)(6n-2)
Para contar los casos favorables, procedemos de la siguiente forma.
Fijado el primer billete númerado con m, \( 0\leq m\leq 6n-1 \), el segundo para que la suma no supere 6n y pueda ser completada a 6n con el tercero , tiene 6n+1-m opciones excepto si m=0, en cuyo caso sólo hay 6n-1 opciones para el segundo. El tercero ahora esta determinado como 6n menos la suma de los otros dos.
Tendríamos entonces:
\( 2+3+\ldots+6n+6n-1=\displaystyle\frac{(2+6n)\cdot (6n-1)}{2}+6n-1=(6n-1)(3n+2) \) (1)
Sin embargo hemos contado algunos casos que no pueden darse, por ejemplo:
1,1,6n-2
es decir, aquellos en que se repiten billetes.
El número repetido va desde 1 hasta 3n y el no repetido puede ocupar cualquiera de las tres posiciones:
\( 3\cdot 3n=9n \) (2)
Por último tenemos en cuenta que aquí hemos contado la opción en que los tres son iguales 3 veces: nos sobran dos de ellas:
2 (3)
En definitiva:
- Casos favorables = (1)-((2)-(3))=(6n-1)(3n+2)-9n+2=\( 18n^2 \).
La probablidad queda:
\( \displaystyle\frac{18n^2}{6n(6n-1)(6n-2)}=\displaystyle\frac{3n}{(6n-1)(6n-2)} \)
Saludos.
P.D. Ejemplo para n=1.
La suma (1) corresponde a contar los casos:
5,1,0 0,5,1
4,2,0 4,1,1 4,0,2
3,3,0 3,2,1 3,1,2 3,0,3
2,4,0 2,3,1 2,2,2 2,1,3 2,0,4
1,5,0 1,4,1 1,3,2 1,2,3 1,1,4 1,0,5
0,5,1 0,4,2 0,3,3 0,2,4 0,1,5
La (2) corresponde a descontar los casos:
1,1,4 1,4,1 4,1,1
2,2,2 2,2,2 2,2,2
3,3,0 3,0,3 0,3,3
La (3) corresponde a volver a sumar los que hemos descontado repetidos:
2,2,2 2,2,2
