[lito_gr]

No entiendo esta demostración (lo muestro tal cual, Análisis Real de Elon Lages Lima), espero que me ayuden.

Sea \( I_n=\{1,2,3,...,n\} \), \( I_n \) es un conjunto finito.

teorema 1. Si \( A \) es un subconjunto propio de \( I_n \), no puede existir una biyección \( f:A\longrightarrow{I}_n \) .

Demostración:

Supongamos, por reducción al absurdo, que el teorema sea falso y consideremos:
\( n_0 \in \mathbb{N} \) el menor número natural para el que existen un subconjunto propio \( A\subset{I}_{n_0} \) y una biyección \( f:A\longrightarrow{I}_{n_0} \) .

Si \( n_0 \in A \) entonces, existe una biyección \( g:A\longrightarrow{I}_{n_0} \) con \( g(n_0)=n_0 \).
En este caso la restricción de \( g \textmd{ a } A-\{n_0\} \) en  \( {I}_{n_{0}-1} \), lo que contradice la minimalidad de \( n_0 \).

Si, por el contrario, tuviésemos \( n_0 \not\in{A} \) entonces tomaríamos \( a \in A \) con \( f(a)=n_0 \) y la
restricción de \( f \) al subconjunto propio \( A-\{a\}\subset{I_{n_0-1}} \) sería una biyección en \( I_{n_0-1} \), lo que de nuevo contradice la minimalidad de \( n_0 \).

*las partes en azul son las que no entiendo, desde ya gracias por ayudar.
**Estoy corrigiendo errores en el post, algunos porque tengo que editar en firefox otros por mi descuido, disculpen por haberlos inducido al error.

[luis]

faltan hipótesis; de lo contrario, el teorema no vale. por ejemplo, consideremos que \( A \) es el conjunto de los pares, \( I_n \) los naturales, y \( f (n) = \frac n2 \).

sospecho que \( A \) es un subconjunto de los naturales, al igual que cada \( I_n \), y que además los \( I_n \) están encajados. pero tú debes saber mejor que yo cuáles son las hipótesis faltantes.

saludos

luis

[pierrot]

, \( I_n \) los naturales,

La letra exige que \( I_n \) sea finito luego el teorema es cierto independientemente de \( I_n \). De todas maneras, concuerdo en que la notación \( I_n \) hace pensar que para cada \( n \), hay un \( I_n \) distinto y cuya definición no ha sido transcrita por lito_gr.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Hola, lito_gr. Bienvenido al foro, pero antes de seguir participando en él convendría que te leyeras las reglas.

Observa que si alguien entra ahora en este hilo, podría pesar que luis está tonto, porque te plantea la posibilidad de que \( I_n \) sea el conjunto de los números naturales cuando tú has dicho que \( I_n \) es un conjunto finito, pero lo que pasa no es que luis esté tonto, sino que tú has hecho que lo parezca al editar tu mensaje sin decir nada, ya que en tu mensaje original faltaban las tres primeras líneas que hay ahora.

Según las reglas, cuando modifiques un mensaje, debes hacerlo constar, preferentemente marcando en rojo los cambios, o indicándolo de un modo u otro.

Tenlo presente en el futuro y, en cualquier caso, conviene que dediques unos minutos a leerte las reglas del foro.

También es importante que procures plantear tus dudas con precisión. Por lo que creo entender, \( I_n \) no es meramente un conjunto finito, sino que es el conjunto \( I_n=\{0, \ldots, n\} \), o algo así.

Saludos.

[lito_gr]

He tenido que modificar varias veces el post, espero que me puedan seguir ayudando.

[luis]

voy a comentar acerca de cada fragmento en azul. pero antes, preciso un poquito mejor lo que quieres probar:
para cualquier \( n \) y cualquier subconjunto \( A \subset I_n \), no puede
existir una biyección \( f: A \to I_n \).

1. llamo \( M \) al conjunto de todos los naturales \( n \) tales que algún subconjunto \( A \subset I_n \) es dominio de una biyección \( f: A \to I_n \). observa que el teorema es verdadero sii ese conjunto \( M \) es vacío. el absurdo surgirá de suponer que \( M \) no es vacío.

si el teorema es falso, o sea, si \( M \) no es vacío, existen algunos \( n \) tales que algún subconjunto \( A \subset I_n \) es dominio de una biyección \( f: A \to I_n \). como todo subconjunto no vacío de los naturales tiene mínimo, \( M \) debe tener mínimo, y lo llama \( n_0 \).

así que ahora ha fijado un \( n_0 \) y también un \( A \subset I_{n_0} \) y una biyección \( f: A \to I_{n_0} \). va a mostrar que eso no es posible, analizando dos casos distintos; cuando \( n_0 \in A \) y cuando \( n_0 \not\in A \). mostrará que si sucediera alguno de esos casos, \( n_0-1 \) estaría en \( M \), contradiciendo que \( n_0 \) era el mínimo de \( M \).

2. miro el primer caso. yo no me doy cuenta porque es tan inmediato ver que hay una biyección \( g \) tal que \( g(n_0) = n_0 \), así que me detengo un momento en eso. la función \( f \) debe cumplir las igualdades \( f (n_0) = k', f(k) = n_0 \) (no importa si \( k \) o \( k' \) coinciden con \( n_0 \)). defino \( g \) como \( g (k) = k', g(n_0) = n_0 \), y \( g(x) = f(x) \) para los restantes elementos de \( A \).

defino además la función \( h: A - \{n_0\} \to I_{n_0-1} \) definida como \( h(x) = g(x) \). esta es la restricción de la que habla en azul; es una biyección que contradice haber tomado \( n_0 \) como mínimo de \( M \).



3. miro el segundo caso. la función \( f \) debe cumplir las igualdades \( f(k) = n_0 \).

defino la función \( h: A - \{a\} \to I_{n_0-1} \) definida como \( h(x) = f(x) \). esta es la restricción de la que habla en azul; es una biyección que contradice haber tomado \( n_0 \) como mínimo de \( M \).

eso sí, no me gusta mucho el argumento.

saludos