[leodp77]

Hola, gente!!! Cómo andan? Espero que bien.
Traigo un problema:

Dada \( f(x) = \displaystyle\frac{x^2}{6} \), hallar el punto del gráfico de f que está a menor distancia del punto (12,3).

Dibujé el gráfico de f, y un rectángulo cuyo vértice superior izquierdo es el punto pedido, y el inferior derecho el punto dado. Armé la ecuación del rectángulo, derivé y busqué el mínimo local.
Resulta que el mínimo de la ecuación del rectángulo es un valor negativo (\( x=4-\sqrt[ ]{22} \)).
En tal caso, ¿debo tomar el mínimo valor de x (es decir, \( f(x)=3 \)) que me permita armar el rectángulo o estoy cometiendo otro error?

Sugerencias?

Saludos.

[golinmarq]

Yo obtuve una formulación diferente. Primero calcule la derivada de la funcion. En el punto (Xo,Yo) que es el punto donde quiero hallar, la recta que pasa por el punto deseada es paralela a la que pasa por el punto al cual se busca la cercanía. Si se traza una perpendicular a dichos puntos, se puede obtener el punto desea. En la grafica se aprecia mejor. En mi caso el punto deseado fue (6,6)

[aladan]

Hola  leodp77

No entiendo a que te refieres con lo de

Armé la ecuación del rectángulo

La cosa es simple se trata de definir la función distancia entre dos puntos, \( P(x_0,y_0)\quad Q(x_1,y_1) \) y determinar su mínimo si existe; entiendo que conoces que esa distancia es de la forma

                 \( d=\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2} \)

su mínimo. si existe, coincide con el de dicha función al cuadrado, esta

                          \( D=(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2 \)

Ahora aplica esto a los puntos de tu enunciado, es decir

                  \( P\equiv{(x, x^2/6)\quad Q\equiv{(12,3)}} \)

y determina el mínimo de

                  \( D=(x-12)^2+\left(\dfrac{x^2}{6}-3\right)^2 \)

Saludos