Saludos!
Como os comenté en un mensaje anterior fruto de mis investigaciones en álgebra elemental desarrolle un modelo matemático para resolver:
\( \sqrt[ 3]{x+b_0}+\sqrt[ 3]{c_1x+c_0}+d_0=0 \) (1)
Pero este problema se resuelve con un modelo de sustitución a saber:
Sea \( u=\sqrt[ 3]{x+b_0} \) entonces la ecuación (1) se transforma en \( u+\sqrt[ 3]{P^1_3(u)}+d_0=0 \) (1a) con \( P^n_m \) indicando "polinomio n de grado m" n representa solo un número ordinal. Y eliminando el radical que queda de la ecuación (1a) nos queda: \( (u+d_0)^3=-P^1_3(u) \). Como podemos observar la ecuación con radicales la hemos transformado en una polinomica de tercer grado con tan solo un cambio de variable...
Entonces ¿Qué relevancia tendría mi modelo matemático el cual igualmente tiene como resolvente una ecuación cúbica y fué mucho más dificil de conseguir?; es la misma pregunta que yo me hice e intenté encontrar una respuesta y lo que obtuve os comento a continuación:
Me propuse observar qué ventaja* tendría el modelo encontrado por mí vs éste método de sustitución que os comento.
Después de algunos análisis plantee resolver el siguiente problema mediante sustitución:
\( \sqrt[ 3]{x+b_0}+\sqrt[ 3]{c_1x+c_0}+\sqrt[ n]{(d_1x+d_0)^m}+e_0=0 \) (2)
Hacemos de nuevo la sustitución:\( u=\sqrt[ 3]{x+b_0} \) de donde obtenemos la ecuación: \( u+\sqrt[3]{P^1_3(u)}+\sqrt[ n]{(P^2_3(u))^m}+e_0=0 \) (2a). Aquí no podemos hacer todavía lo del paso anterior y realizamos una segunda sustitución a saber: \( t=\sqrt[ n]{(P^2_3(u))^m} \) (3). Ahora bien lo que continúa es reemplazar esta segunda sustitución en la ecuación (2a) lo cual resulta: \( u+\sqrt[3]{P^1_3(u)}+t+e_0=0 \) (2b). Luego tanto la ecuación (3) como la (2b) me sirven para plantear un sistema no lineal 2x2. el sistema queda de la siguiente manera:
\( \begin{bmatrix} t^n= P^2_3(u)^m & \mbox{ }&(3)\\\ (u+t+e_0)^3+P^1_3(u)=0& \mbox{}& (2b)\end{bmatrix} \) que por motivos de la comparación con mi modelo reescribo el sistema de la siguiente manera:
\( \begin{bmatrix} P_{(3m)(n)}(u,t)=0 & \mbox{}& (3)\\ P_{(3)(3)}(u,t)=0 & \mbox{}& (2b)\end{bmatrix} \).
Para resolver éste sistema no lineal seguramente existen algunos métodos, yo comprendí que podía utilizar la teoría del discriminante para resolver este sistema que consiste en multiplicar las ecuaciones del mismo obteniendo un polinomio en dos variables que al tener la misma raíz para alguna de las variables en teoría el discriminante de cualquiera de los polinomios es igual a cero y esta afirmación es la que ayuda a plantear la última ecuación en una variable!
Pues bien no he hecho la verificación del método de sustitución pero sí la de mi método; ahora sí escribo la forma del sistema no lineal que se obtiene con mi método para resolver el mismo problema:
\( \begin{bmatrix} P_{(3)(n)}(u,t)=0 & \mbox{}&\\ P_{(3)(3m)}(u,t)=0 & \mbox{}&\end{bmatrix} \) quise usar las mismas variables que en el sistema anterior para que se pueda hacer mejor la comparación entre ellos pero tienen diferentes definiciones; observa alguna diferencia?, ¿Qué ventaja* Ud. puede apreciar?, por favor explique. ¿Sabe otra manera de resolver este problema? por favor comente.
Para mi sistema, sí he hecho la verificación usando la teoría del discriminante para valores no muy grandes de n y m ya que como se comprenderá los polinomios resultantes serían inmanejables numéricamente hablando...
