[Pepe]

Hola. En un apartado de un ejercicio de diagonalización de matrices me piden que haye la exponencial de una matriz dada, y en el resultado hacen este desarrollo:

\( exp(A)=exp(PDP^{-1})=Pexp(D)P^{-1} \)

exp(D) es la exponencial de los elementos de la diagonal. Pero no entiendo como sacaron P y P-1 de esa forma del exponente. ¿Alguien me puede explicar cómo?

Gracias

[feriva]

Hola. En un apartado de un ejercicio de diagonalización de matrices me piden que haye la exponencial de una matriz dada, y en el resultado hacen este desarrollo:

\( exp(A)=exp(PDP^{-1})=Pexp(D)P^{-1} \)

exp(D) es la exponencial de los elementos de la diagonal. Pero no entiendo como sacaron P y P-1 de esa forma del exponente. ¿Alguien me puede explicar cómo?

Gracias

Hola, Pepe. He visto éste y el otro post que pones sobre diagonalización sobre el orden de los autovalores respecto de los auovectores; necesitas la forma de Jordan para hallar la base de vectores (necesitas el método, digo) yo no lo sabría hacer de otra forma nada más que empelando Jordan; ¿lo has estudiado?

 Saludos.

[Pepe]

Hola feriva. Retiré el otro hilo porque fue un error mío de cálculo (un pequeño fallo, pero ya está resuelto).

Con respecto a este hilo, conozco de qué trata el método de Jordan, pero no se aplicarlo realmente. Me han comentado que es diferente para matrices de distinto orden. ¿Podrías explicarme cómo se aplica en este caso?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 La propiedad que se usa no tiene que ver específicamente con la forma de Jordan, sino con la semejanza de matrices.

 La exponencial de una matriz de define como:

\(  exp(A)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}\dfrac{1}{n!}A^n \) (*)

 Ahora si \( A=PDP^{-1} \) se tiene que:

\(  A^n=\underbrace{A\cdot A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n\quad veces}=\underbrace{PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1}\ldots PDP^{-1}}_{n\quad  veces}=PD^nP^{-1} \)

 Aplicando esto en (*) y sacando factor común a izquierda y derecha respectivamente a \( P \) y \( P^{-1} \) se tiene que:

 \( exp(A)=P\left(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}\dfrac{1}{n!}D^n\right)P^{-1}=Pexp(D)P^{-1} \)

Saludos.