[Pepe]

Hola, tengo el siguiente ejercico que 'sé' resolver, excepto por una pequeña cosita. Dice así:

Encuéntrese la matriz \( X \), tal que \( X^3=F \). Siendo \( F=\begin{bmatrix}{2}&{-4}&{0}&{0}\\{2}&{-3}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-6}&{-7}\\{0}&{0}&{14}&{15}\end{bmatrix} \)

Sé que los autovalores (valores propios o característicos) de mi matriz F serán los de ambos bloques de la matriz (el superior izquierdo y el inferior derecho). Entonces, obtengo sus respectivos autovalores y autovectores:

\( \lambda=1; v_1=\left\{{(2,1,0,0),(0,0,-1,1)}\right\} \)
\( \lambda=-1; v_{-1}=\left\{{(1,1,0,0)}\right\} \)
\( \lambda=8; v_{8}=\left\{{(0,0,1,-2)}\right\} \)

Ahora, sabiendo que \( F=P^{-1}DP \), deduzco que \( X=P^{-1}D^{*}P \), siendo \( D^{*} \) la matriz diagonal \( D \) con sus elementos elevados a \( 1/3 \), dado que al elevar X al cubo obtendré F.

El problema viene cuando ordeno las comundas de P y D. Solo hay una forma correcta de hacerlo, y yo pensaba que eso no importaba siempre que las pusieras en concordancia. Es decir, cada autovector tiene que coincidir en la misma columna que su autovalor. Pero esto no funciona, solo hay un orden en el que se obtiene la matriz X correcta. ¿Por qué pasa esto? ¿Cómo se resuelve?

Gracias

[Fernando Revilla]

Encuéntrese la matriz \( X \), tal que \( X^3=F \).

Éste enunciado es de una total perfidia si se combina con el siguiente comentario (no sé si es tuyo o proviene de tu profesor):

El problema viene cuando ordeno las comundas de P y D. Solo hay una forma correcta de hacerlo, y yo pensaba que eso no importaba siempre que las pusieras en concordancia. Es decir, cada autovector tiene que coincidir en la misma columna que su autovalor. Pero esto no funciona, solo hay un orden en el que se obtiene la matriz X correcta. ¿Por qué pasa esto? ¿Cómo se resuelve?

Si \( D \) es cualquier matriz diagonal semejante a \( F \), entonces \( F=PDP^{-1} \) para alguna \( P \) invertible, y cualquier \( X=P\sqrt[3 ]{D}P^{-1} \) satisface:

\( X^3=P\sqrt[3 ]{D}P^{-1}P\sqrt[3 ]{D}P^{-1}P\sqrt[3 ]{D}P^{-1}=PDP^{-1}=F \)

Entonces:

1. Supongamos que elegimos otra \( D \) y otra \( P \) (en concordancia como bien dices). Si varía \( X \), ¿por qué el enunciado dice Encuéntrese la matriz en vez de  Encuéntrese una matriz?

2. Si la \( X \) no varía, entonces el enunciado es correcto, pero ¿por qué al cambiar \( D \) manteniendo concordancia con la \( P \) no es válido el resultado si la \( X \) es única?

3. En el caso de que \( X \) no fuera única, además de estar mal enunciado el problema, ¿que criterio se ha de seguir para elegir una de esas \( X \) si todas satisfacen \( X^3=F \)?