[Quema]

Hola

Si tengo una función \( f(x,y) \) debo plantear las integrales dobles para:
a) \( 0\leq{}x\leq{}1 \),  \( 0\leq{}y\leq{}1 \) y \( x+y>1/2 \)
b) \( 20<x \),  \( 20<y \) y \( 0<x<50-y<50 \).

Se que se dibuja el área en un plano (x,y), pero no me queda muy claro cómo pasar luego a los límites de integración.

Saludos

[mathtruco]

Hola Quema,

 efectivamente, haciendo la gráfica quedan más claros los límites de integración.



Para el primer problema los límites son:

    \( \displaystyle\int_0^{1/2}\int_{1/2-x}^1 f(x,y)\;dy\, dx+\int_{1/2}^1\int_0^1 f(x,y)\;dy\, dx \)

  o bien

    \( \displaystyle\int_0^{1/2}\int_{1/2-y}^1f(x,y)\;dx\,dy+\int_{1/2}^1\int_0^1f(x,y)\;dx\,dy \)

En este caso particular de ambas formas se llega a límites de integración muy parecidos, pero en general no siempre es así.

Si quieres nos cuentas como harías el otro ejercicio y lo discutimos.

[Quema]

Hola

Creo que ya entendí. En la segunda integral haría:

\( \displaystyle\int_{0}^{20}\displaystyle\int_{20}^{30}f(x,y)dydx+\displaystyle\int_{0}^{20}\displaystyle\int_{30}^{50-x}f(x,y)dydx+\displaystyle\int_{20}^{50}\displaystyle\int_{0}^{50-y}f(x,y)dydx \).

Dividí el área de integración en tres partes.

Está bien?

Gracias

[mathtruco]

Hola,

 en el segundo problema no es necesario dividir la integral en 2 porque se forma el siguiente triángulo rectángulo:





Nota que las dos primeras inecuaciones implican que \( x,y\geq 0 \) y la última:

    \( 0<x<50-y<50\Leftrightarrow 0<x\wedge x<50-y\wedge 50-y<50 \)

    \( \Leftrightarrow 0<x\wedge x+y<50\wedge 0<y \)

donde la primera y última inecuaciones sobran (porque ya estaban).

Con esto la integral queda:

    \( \displaystyle\int_{20}^{30}\int_{20}^{50-x}f(x,y)\,dy\,dx \)

ya que cuando \( x \) se mueve entre \( 20<x<30 \), \( y \) se mueve en \( 20<y<50-x \),

o bien

    \( \displaystyle\int_{20}^{30}\int_{20}^{50-y}f(x,y)\,dx\,dy \)

ya que cuando \( y \) se mueve entre \( 20<y<30 \), \( x \) se mueve en \( 20<x<50-y \).

[Quema]

Hola

Gracias.

Saludos