[WendyS]

Hola!! Ojala puedan ayudarme:

Sea \( f:[a, b]\rightarrow{R^n} \) y \( w\in{[a, b]} \), si f es integrable y tiene discontinuidad de primera especie en w. Probar que la función F(t)=\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(u)du \), t \( \in{[a, b]} \) tiene derivadas laterales en w y que \( F'_+(w)=\displaystyle\lim_{t \to{w^+}\ty}{f(t)} \), \( F'_-(w)=\displaystyle\lim_{t \to{w^-}\ty}{f(t)} \).

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad el enunciado debe de decir:

\( F(t)=\displaystyle\int_{a}^{\color{red}t\color{black}}f(u)du \)

 Podemos trabajar de manera independiente para cada componente y por tanto suponer \( n=1 \).

 Observa que:

\(  F'_+(w)=\displaystyle\lim_{k \to 0^+}{}\dfrac{F(w+h)-F(w)}{h}=\displaystyle\lim_{ \to 0^+}{}\dfrac{1}{h}\displaystyle\int_{w}^{w+h}f(u)du \)   (*)

 Ahora si \( L=\displaystyle\lim_{t \to w^+}{} \) entonces para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que si:

 \( w<u<w+\delta \) entonces \( |f(u)-L|<\epsilon \)

 Por tanto si \( 0<h<\delta \):

\(  \displaystyle\int_{w}^{w+h}(L-\epsilon)du<\displaystyle\int_{w}^{w+h}f(u)du<\displaystyle\int_{w}^{w+h}(L+\epsilon)du \)

 es decir:

\( h(L-\epsilon)<\displaystyle\int_{w}^{w+h}f(u)du<h(L+\epsilon) \)

 Sustituye en (*) y concluye.

Saludos.

[WendyS]

Gracias por la corrección. De verdad muchas gracias, por tu ayuda.