[WendyS]

Hola; por favor necesito su ayuda:

Sea\( f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \) una función continua en cero y tal que \( f(x+y)= f(x)+f(y), \;\forall{x, y \in{\mathbb{R}^n}} \).

Demuestre que \( \exists{a\in{\mathbb{R}^n}} \) tal que \( f(x)=<a;x>, \quad \forall{x} \in \mathbb{R}^n \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Sea \( e_1=(1,0,\ldots,0),\,e_2=(0,1,\ldots,0),\quad,e_n=(0,0,\ldots,1) \).

 Para cada \( i\in \{1,2,\ldots,n\} \) define:

\(  f_i:R\longrightarrow{}R,\quad f_i(t)=f(te_i) \)

 Observa que \( f_i(t+s)=f_i(t)+f_i(s) \) y \( f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f_1(x_1)+f_2(x_2)+\ldots+f_n(x_n). \)

 Para cada \( f_i \) aplica las ideas del siguiente hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=9571.0

Saludos.