[pepeChur]

Me dan la siguiente igualdad:

\( |A(\displaystyle\frac{1}{2}B)^{-1}| = |3B| + |A-AB| \)

Y me dicen que \( B=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix} \)
Me preguntan si la matriz A es invertible.

No estaba seguro de cómo proceder entonces arranque a desarrollar haber si me quedaba más claro pero no llegue a nada.

Entonces con esto se que \( |B| = 1, |3B|=3^{3}|B| = 27 \)

Luego plantee que \( |A(\displaystyle\frac{1}{2}B)^{-1}|=|A|.|(\displaystyle\frac{1}{2}B)^{-1}|=|A|.(\displaystyle\frac{1}{2})^3.\displaystyle\frac{1}{|B|}=|A|.\displaystyle\frac{1}{8} \)

\( \Rightarrow{}|A|\displaystyle\frac{1}{8} = 27 + |A-AB| \)

Y hasta ahí llegue no se que mas puedo hacer.

[mathtruco]

Hola pepeChur,

 nota que \( A-AB=A(I-B) \)  y recuerda que el determinante de la multiplicación es la multiplicación de los determinantes.

[pepeChur]

Muchas gracias por la respuesta, no me di cuenta de tomarlo de esa forma, gracias a ello llego a que si es invertible ya que me queda:

\( |A|\displaystyle\frac{1}{8}=27 \Rightarrow{} |A|=216 \Rightarrow{} |A| \neq{} 0 \textsf{ es invertible} \)

[mathtruco]

Hay un detalle en tu desarrollo:

  \( \left|\left(\frac{1}{2}B\right)^{-1}\right|=\dfrac{1}{\left|\left(\frac{1}{2}B\right)\right|}=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3|B|}=\dfrac{8}{|B|} \).

Lo demás está ok

[pepeChur]

Sí tienes razón le erré a eso.

Entonces me quedaría que \( |A| = 27/8 \)


Saludos y gracias por la ayuda.