Hola.
Tengo el siguiente ejercicio:
Sea (O', X''Y'') el sistema que se obtiene rotando el sistema (O, XY) en un ángulo de \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) radianes y trasladando el origen del sistema al punto O' de coordenadas (1,1) en el sistema (O, XY)
Hallar la ecuación, en el sistema de (O', X''Y'') de la recta L cuya ecuación en el sistema (O, XY) es \( y -2x=0 \)
Mi duda es despues de reemplazar en las fórmulas me queda:
\( \left[{\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\end{array}\right] = \begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{1}{2}}&{\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{3}}{2}}\\{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}}&{\displaystyle\frac{1}{2}}\end{bmatrix}*\left[{\begin{array}{ccc}{x''}\\{y''}\end{array}\right] + \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{1}\end{array}\right] \),
por lo tanto:
\( x= \displaystyle\frac{1}{2}x''-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}y'' + 1 \) e
\( y= \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}x'' + \displaystyle\frac{1}{2}y'' + 1 \)
Ahora reemplazo en \( y - 2x=0 \)
Y acá viene mi duda... cuando reemplazo a mi me da un resultado distinto del que debería dar y quisiera saber si pueden ayudarme a encontrar el error.
A continuación voy a detallar lo que hago:
\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}x'' + \displaystyle\frac{1}{2}y'' + 1 - 2\left(\displaystyle\frac{1}{2}x'' - \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{-3}}{2}y''+1\right)=0 \)
\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}x'' + \displaystyle\frac{1}{2}y'' + 1 - x'' + \sqrt[ ]{3}y'' - 2 = 0 \)
\( \left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} - 1\right)x'' + \left(\displaystyle\frac{1}{2} + \sqrt[ ]{3}\right)y'' - 1 = 0 \)
La respuesta correcta supuestamente sería:
\(
(\sqrt[ ]{3} - 2)x'' + (1 +2 \sqrt[ ]{3})y'' - 2 = 0 \)
