[RubenJ]

Hola, me pueden dar una idea de como demostrar estas afirmaciones?
Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta:
i) Si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)} \) existe entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-f(a)]}=0 \)
ii)Si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L \in{}\mathbb{R} \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\left |{f(x)}\right |}=\left |{L}\right | \)
iii)Si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\left |{f(x)}\right |}=\left |{L}\right | \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=L \)
iV)Si existen \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{(f+g)(x)} \) entonces existe \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g(x)} \)

Gracias.

[filomates]

Hola RubenJ
1) Es cierta sólo cuando la función es continua en a, es decir, si además de existir el límite, coincide con f(a). Entonces hay que utilizar la definición de límite.

En realidad todas salen aplicando la definición de límite y las propiedades del valor absoluto.

Cuando digo "definición de límite" me refiero a la famosa definición " \(  \epsilon  - \delta  \) "

Para seguir con la propiedad 1) escribe la definición de \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}  = f(a)   \) y por otro lado escribe la definición de \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-f(a)]}=0 \) y verás que son prácticamente lo mismo.

A ver si te sale esta, porque las demás salen de manera parecida.

Espero que esto te sirva
EDITADO CON POSTERIORIDAD  Comenta, si quieres, informando si lo que te decimos  te resulta útil o es insufuciente

[Lycan]

Para el ii) utilizar la desigualdad

\( ||f(x)|-|L||\le |f(x)-L| \)

[RubenJ]

*Si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}  = f(a)   \)
entonces por definición de límites:
Dado un \( \epsilon_1>0, \exists{\delta_1>0} \) Si \( \left |{x-a}\right |<\delta_1 \Rightarrow{\left |{f(x)-f(a)}\right |<\epsilon_1} \)
*Si \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-f(a)]}=0 \)
entonces por definición de límites:
Dado un \( \epsilon_2>0, \exists{\delta_2>0} \) Si \( \left |{x-a}\right |<\delta_2 \Rightarrow{\left |{f(x)-f(a)-0}\right |<\epsilon_2} \)
Pero si \( \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon \)
etonces la afimación es verdadera, lo que me queda en duda es que si los dos epsilon son iguales sus respectivos deltas serian iguales?
Gracias Lycan es la desigualdad que buscaba

[filomates]

Es lo mismo porque se trata de la misma expresión, \(  \left |{{f(x) - f(a) }}\right |  \) en ambos casos