Hola
Sigo revisando mis hojas y encontré un problema parecido a este:
Si: \( f(x)=\begin{Bmatrix} bx^2+ab & \mbox{ si }& x\geq{0}\\2\sqrt{(x^2+b)}-b & \mbox{si}& x<0\end{matrix} \)
halla a y b para que \( \displaystyle\lim_{\color{red}x \to{0}\color{black}}{f(x)}=f(0) \) y \( f(1)=1 \)
No estoy seguro si es un problema de tipeo de parte del profesor, pero el anterior problema está bien tipeado
La diferencia esencial es que ahi te imponen una condición sobre el límite en cero, que es el punto conflictivo.
Pero más allá del enunciado, yo no sé si estás entendiendo el ejercicio y mis indicaciones. Si lo entiendes lo podras resolver cualquier variantes del mismo.
Consideramos la función:
\( f(x)=\begin{Bmatrix} bx^2+ab & \mbox{ si }& x\geq{0}\\2\sqrt{(x^2+b)}-b & \mbox{si}& x<0\end{matrix} \)
1) En primer lugar para que esté bien definida en \( x<0 \) tiene que cumplirse que exista \( \sqrt{x^2+b} \) para \( x<0 \). Equivalentemente \( b\geq 0. \)
2) Si nos mandan estudiar el límite en \( x_0=1 \), dado que en un entorno de \( 1 \) la función está definida como \( f(x)=bx^2+ab \) se tiene que:
\( \displaystyle\lim_{x \to 1}{}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1}{}bx^2+ab=b+ab \)
3) Si nos piden esudiar el límite en \( x_0=0 \), ahora la función está definida de diferente manera a izquierda y a derecha. Se tiene:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}2\sqrt{(x^2+b)}-b=2\sqrt{b}-b \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}bx^2+ab=ab \)
El límite en cero existen cuando ambos límites laterales coinciden:
\( 2\sqrt{b}-b=ab \)
Y esto ocurre si \( b=0 \) ó \( a=\dfrac{2}{\sqrt{b}}-1 \).
Saludos.
