[darksaga]

Dado un espacio topológico X, demuestre que para 2 topologías en X, no es cierto en general que la unión sea otra topología en X.

[teeteto]

Dado un espacio topológico \( X \) que contenga al menos dos puntos \( a \) y \( b \) puedes definir:

\( \tau_1=\{\emptyset, X, \{a\}\} \)

\( \tau_2=\{\emptyset, X, \{b\}\} \)

Tanto \( \tau_1 $como\;$ \tau_2 \) son topologías, pero

\( \tau=\tau_1\cup\tau_2=\{\emptyset, X, \{a\}, \{b\}\} \)

no lo es porque, por ejemplo, \( \{a,b\}=\{a\}\cup\{b\}\notin\tau \)

[darksaga]

Es un contraejemplo, y justamente propuse esto porque siempre me ha intrigado este tipo de ''demostraciones'', que son facil de verificar con un contraejemplo... Pero, se podria hacer una demostracion generalizada la cual quede probado para cualquier Topologia en un conjunto dado?

Gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Dado un espacio topológico \( X \) que contenga al menos dos puntos \( a \) y \( b \) puedes definir:

Para que el ejemplo funcione el conjunto tiene que tener más de dos puntos, en otro caso \( \{a\}\cup \{b\}=X \).  

Es un contraejemplo, y justamente propuse esto porque siempre me ha intrigado este tipo de ''demostraciones'', que son facil de verificar con un contraejemplo... Pero, se podria hacer una demostracion generalizada la cual quede probado para cualquier Topologia en un conjunto dado?

No se pude hacer una demostración generalizada, porque no es cierto que no pueda haber caso donde la unión de dos topologías si sea una topología. Cuando se dice que algo "no es cierto en general" hay que mostrar que hay casos en los que no se cumple (puede que para otros si); para ello basta dar uno concreto donde la propiedad falle.

Saludos.