Sea \( f:[0,1]\times [0,1] \to \mathbb{R} \) definida por
\( \begin{equation*}
f(x,y) = \left\lbrace
\begin{array}{l}
0 \quad \text{si} \quad 0\leqslant x<\frac{1}{2} \\
1 \quad \text{si} \quad \frac{1}{2} \leqslant x\leqslant 1 \\
\end{array}
\right.
\end{equation*} \)
Pruebe que f es integrable y que \( \displaystyle\int_{[0,1]\times [0,1]} f=\frac {1}{2} \)
la demostracion que propongo es la siguiete
Para demostrar que esta función es integrable usaremos \( $\epsilon>0$ \), para este \( $\epsilon$ \) consideremos la siguiente partición \( $P=\{0,\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4},\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4},1\} \times [0,1]$ \), del rectángulo\( $R=[0,1] \times [0,1]$ \) los subrectángulos inducidos por R son los siguientes:
\( $R_1=[0,\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4}] \times [0,1]$ \), \( $R_2[\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4},\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4}] \times [0,1]$ \) y \( $R_3[\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4},1] \times [0,1]$ \),
hallando los minimos y Maximos de f en cada particion tenemos respectivamente:
Mínimos \( $m_1(f)=0$, $m_2(f)=0$ y $m_3(f)=1$ \)
Maximos \( $M_1(f)=0$, $M_2(f)=1$ y $M_3(f)=1$, \)
hallando la medida de cada subintervalo tenemos:
\( $\mu(S_1)=\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4}-0=\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4}$ \)
\( $\mu(S_2)=\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4}-(\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4})=\frac{\epsilon}{2}$ \)
\( $\mu(S_3)=1-(\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4})=\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4}$ \)
Asi:\\
\( $L(P,f)=\sum_S m_s(f)\mu(S)= m_1(f)\mu(S_1)+ m_2(f)\mu(S_2)+ m_3(f)\mu(S_3)=0(\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4})+0(\frac{\epsilon}{2})+1(\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4})=\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4}$ \)
\( $L(P,f)=\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4}$ \)
\( $U(P,f)=\sum_S M_s(f)\mu(S)= M_1(f)\mu(S_1)+ M_2(f)\mu(S_2)+ M_3(f)\mu(S_3)=0(\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4})+1(\frac{\epsilon}{2})+1(\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4})=\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4}$ \)
\( $U(P,f)=\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4}$ \)
Luego
\( $U(P,f)-L(P,f)=\frac{1}{2}+\frac{\epsilon}{4}-(\frac{1}{2}-\frac{\epsilon}{4})=\frac{\epsilon}{2} $ \) Pero
\( $U(P,f)-L(P,f)=\frac{\epsilon}{2} < \epsilon$ \), por tanto f es integrable ,\( $U(P,f)=L(P,f)$ \) se da para el valor de \( $\frac{1}{2}$ \), por tanto \( $\int_{[0,1] \times [0,1]} f=\frac {1}{2}$ \)
