[FlashHardcore]

Buenas a todos y gracias por leer. Resulta que en un examen me entró el siguiente ejercicio y todavía ando perdido para resolverlo. En la tutoría la profesora solo me indicó qué se hacía con L'Hôpital, integral indefinida y suma de Riemann respectivamente. El ejercicio dice así:

Calcula, en caso de existencia, los límites:

a) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1-\cos x)^x} \)
   
b) \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\int_{x}^{x+1} \frac{1}{t*\log t}\, dt} \)

c) \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\frac{(e^{\frac{1}{n}})+2*(e^{\frac{2}{n}})+3*(e^{\frac{3}{n}})+ \cdots +n*(e^{\frac{n}{n}})}{n^2}} \)

Ando muy perdido, cualquier ayuda sería de gran ayuda. Tengo el examen final en una semana y por estos ejercicios estoy nervioso.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En cuanto a los problemas:

 a) Ten en cuenta que la función \( cos(x) \) es periódica. En particular:

 \( cos(2k\pi)=1 \) para cualquier \( k \) natural
 \( cos((2k+1)\pi)=-1 \) para cualquier \( k \) natural

 Por tanto la función:

\(  f(x)=(1-cos(x))^x \)

 cumple:

 \( f(2k\pi)=0 \) para cualquier \( k \) natural
 \( f((2k+1)\pi)=2^{(2k+1)\pi} \) para cualquier \( k \) natural

 ¿Qúe concluyes sobre el límite \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x) \) ?.

 2) Integra directamente haciendo el cambio \( u=log(t). \) Después, para calcular el límite utiliza las propiedades de los logaritmos y L'Hopital:

Spoiler

\(  Log(log(x+1))-log(log(x))=Log\left(\dfrac{log(x+1)}{log(x)}\right) \)

\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}Log(f(x))=log\left( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}f(x)\right) \)

[cerrar]

 3) Utiliza que, por la definición de integral mediante sumas de Riemann:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right) \)

 para \( f(x)=xe^x \)

Saludos.

[FlashHardcore]

Muchas gracias. He resuelto el segundo y el tercero. En el primero ando todavía algo liado.
Dejo la resolución para cualquier persona que esté en situación similar a la mía

b) Con el cambio de variable queda lo citado anteriormente \(  Log(log(x+1))-log(log(x))=Log\left(\dfrac{log(x+1)}{log(x)}\right) \)

Como \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{log(x+1)} =\infty \) y también \(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{log(x)} =\infty \)

Su límite es una indeterminación del tipo \( \displaystyle\frac{\infty}{\infty} \)

Aplicamos L`Hôpital y la derivada, tanto de \( logx+1 \) como de \( logx \) es \( \displaystyle\frac{1}{x} \), Como es igual en numerador como denominador, el resultado es 1

Luego tendríamos que calcular finalmente \( log\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{1} = log(1) = 0 \)


c) No venía en mis apuntes, por lo que la dejo para estudiantes. La fórmula utilizada en el apartado es

En este caso, el problema viene transformar la función dada en una del tipo mostrada en la fórmula anterior, una vez hecho y determinada \( f(x) \), se calcula su integral por partes \( \displaystyle\int_{0}^{1}x*e^x \)  Por partes nos queda que \( \displaystyle\int_{}^{} u*dv = u*v - \displaystyle\int_{}^{} du*v \)
Así pués, la integral es \( e^x  (x-1) \)
Simplemente, por el 2º Teorema Fundamental del Cálculo (o Regla de Barrow), finalizamos que la integral es \( e^1 (1-1) * - e^0 (0-1) = 0 - (-1) = 1 \)

a)Sigo teniendo dudas en el primer apartado. Considero que es irrelevante que sea periódica, pues está elevada a x y comparándola me queda que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{0}  \leq{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1-cosx)^x}}\leq{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2^x}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Aplicamos L`Hôpital y la derivada, tanto de \( logx+1 \) como de \( logx \) es \( \displaystyle\frac{1}{x} \), Como es igual en numerador como denominador, el resultado es 1

Aunque el resultado no varía, la derivada no es igual. En un caso es \( \dfrac{1}{x+1} \) y en el otro \( \dfrac{1}{x} \). En lo demás todo de acuerdo.

a)Sigo teniendo dudas en el primer apartado. Considero que es irrelevante que sea periódica, pues está elevada a x y comparándola me queda que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{0}  \leq{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1-cosx)^x}}\leq{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{2^x}} \)

Lo que te he intentado sugerir que uses es lo siguiente. Si:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=L \)

Entonces sobre cualquier sucesión \( \{x_n\}\to \infty \) debería de cumplirse:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(x_n)=L \)

Por tanto encontramos dos sucesiones divergentes a infinito de manera que la función sobre ellas tenga límites diferentes, entonces el límite no existe.

En nuestro caso \(  f(x)=(1-cos(x))^x \). Si tomamos \( x_n=2k\pi \), entonces:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(x_n)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}0=0 \)

Si tomamos \( y_n=(2k+1)\pi \), entonces:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}2^{(2n+1)\pi}=\infty \)

Por tanto el límite no existe.

Saludos.