[angiepaola]

Hola !!!
Me podrían colaborar con este ejercicio... gracias.

Sea V un espacio vectorial de dimension finita. ¿Cuál es el polinomio minimal para el operador identidad sobre V? ¿Cual es el polinomio
minimal para el operador cero?

[pierrot]

El operador identidad y el operador cero son diagonalizables. Su polinomio minimal coincide con el característico. ¿Entonces?

REMATADAMENTE MAL (ver rectificación más abajo)

[AniF]

Hola Pablo! Porque el polinomio característico y el minimal coninciden cuando los operadores son diagonalizables? Hice un planteo en el siguiente archivos adjunto (aún se me dificulta usar el latex)

[pierrot]

Hola Johanna.

No pude abrir tu documento porque no tengo Office en mi computadora (uso Linux). Por eso es que se exige el uso de \( \LaTeX \), para que todos puedan leer los contenidos sin problemas. Sería bueno que te fueses acostumbrando. En este link tienes un minitutorial:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=870.0

Hola Pablo! Porque el polinomio característico y el minimal coninciden cuando los operadores son diagonalizables?

Está mal lo que dije. Suponiendo que \( \dim V=n \), el polinomio característico del operador identidad es \( p_I(t)=(1-t)^n=(-1)^n(t-1)^n \) con lo cual el polinomio minimal es \( m_I(t)=(t-1)^m \) para alún \( m \) tal que \( 1\leq m\leq n \). Pero para \( m=1 \) el polinomio \( q(t)=t-1 \) anula a la matriz identidad por lo tanto \( m_I(t)=t-1 \). Análogamente, el polinomio minimal del operador nulo es \( t \).

No me explico cómo escribí eso . Disculpa.

[AniF]

Bien Pablo!
Lo que no me queda aún muy claro es lo siguiente:
Si \( ( \lambda-1)^n \) es el polinomio característico de T ¿entonces su polinomio minimal es \( \lambda-1 \)?... Se me hizo una mezcla..

[pierrot]

Si \( ( \lambda-1)^n \) es el polinomio característico de T ¿entonces su polinomio minimal es \( \lambda-1 \)?... Se me hizo una mezcla..

El polinomio característico del operador identidad (o sea, \( T=Id \)) es \( p_{Id}(\lambda)=(-1)^n(\lambda-1)^n \).

El polinomio minimal del operador identidad es \( m_{Id}(\lambda)=\lambda-1 \).

No sé si esto aclara tu duda.

[AniF]

Sí, sí!!..
Gracias!!