Autor Tema: Un país de palillos. Estrategias ganadoras en teoría de juegos.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Junio, 2013, 09:14 pm
Leído 5860 veces

janos

  • $$\pi$$
  • Mensajes: 14
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Aquí les presento el enunciado y solución al primer problema del set 5 de problemas publicados por el rotativo español El País en celebración del 100 aniversario de la Real Sociedad Matematica Española.



Enunciado:

"Considere el gráfico de arriba. En el aparece un tablero con la palabra “P A I S” escrita con palillos. La letra P contiene 5 palillos, la letra A contiene 5 palillos, la letra I contiene 4 palillos y por último la letra S contiene 5 palillos. El problema consiste en buscar una Estrategia Ganadora para el juego para dos jugadores que pasamos a describir ahora:

Se retiran por cada jugador y turno o bien 1, o bien 2, o bien 3 palillos del tablero de cualquiera de las letras que contienen a los palillos. Ganará ́ el jugador que en su turno retire palillos de forma que no quede ninguno en el tablero. Se pide buscar una Estrategia Ganadora o bien para el jugador que inicia el primer turno o bien para el otro jugador. Es decir, hay que dar un “procedimiento” mediante el cual se describa los pasos a hacer para alg ́n jugador, de forma que siempre gane el juego con independencia de lo que haga el otro jugador.


https://docs.google.com/file/d/0B4FJvz9o3YaaV0VTb3Q1a0FpdXM/edit?usp=sharing

¡Saludos!.

13 Junio, 2013, 10:47 pm
Respuesta #1

Piockñec

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Jo, parecía el desarrollo muy interesante, pero al final no ha deducido cuál era la estrategia ganadora, simplemente la ha revelado :(

14 Junio, 2013, 12:54 am
Respuesta #2

Abdulai

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,382
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Jo, parecía el desarrollo muy interesante, pero al final no ha deducido cuál era la estrategia ganadora, simplemente la ha revelado :(
Entonces te comento otra estrategia mas general y para amantes de la función OR-Exclusiva :)

En un libro de Teoría de Juegos cuyo nombre descarto acordarme, se daba un ejemplo con un juego de ese estilo: Palillos/loquesea en diferentes grupos donde cada cada jugador puede sacar la cantidad que quiera pero siempre de un mismo grupo.

La idea es separar todas las configuraciones posibles en dos grupos, llamémoslos "G" (ganador) y "P" (perdedor), con la siguiente propiedad:
- Desde cualquier configuración de "P" existe siempre una jugada que me lleva a "G".
- Desde cualquier configuración de "G" no existe ninguna jugada que me siga manteniendo en "G".

La estrategia es evidente. Si es tu turno y estás en "P" --> Hacés una jugada que te lleve a "G" --> Haga lo que haga el otro jugador terminará en "P".
El problema (para uno) es si al inicio del juego es tu turno y estás en "G" o empieza el otro y te manda a "G".  En ese caso, a menos que el otro se equivoque --> alpiste.. perdiste.

En juegos que no impliquen una gran cantidad de posibilidades por turno puede construirse un diagrama.  Pero como en este caso son muchas, hay un plan B  que consiste en "inventar" una función que permita saber en que grupo (G o P) estamos y como llegar a G.


Voy a ir directo a la solución de este juego porque me parece que si explico antes el proceso no se va a entender nada.

- Escribimos la cantidad de palillos que hay en cada letra en binario.

P : 5 = 101
A : 5 = 101
I  : 4 = 100
S : 5 = 101

- Escribimos la paridad correspondiente a cada columna.  Si estuviéramos haciendo un programita sería hacer una OR-Exclusiva (XOR) entre los 4 números.

 101  (5)
 101  (5)
 100  (4)
 101  (5)
-----
 001

- ¿Que hago con eso? 
Pues muy simple, si esa "suma" es 0 --> Estamos en una posición ganadora (G)
Si es distinta de 0 --> Posición perdedora (P)
Analizando con tranquilidad se verá que esa función cumple con las propiedades que nombré antes.

Decretemos que este es mi turno. Para ir a una posición ganadora tengo que sacar 1 palillo de la P,A o S. Con cualquier otra cosa voy muerto.
Saco 1 de la letra P , queda entonces:

 100  (4)
 101  (5)
 100  (4)
 101  (5)
-----
 000

- Haga lo que haga el otro jugador nunca podrá dejar la suma en 0. Supongamos que saca todos los palillos de la letra A

 100  (4)
 000  (0)
 100  (4)
 101  (5)
-----
 101

- Tengo varias posibilidades: Sacar 3 de la P, 3 de la I, todos de la S.
Saco 3 de la P

 001  (1)
 000  (0)
 100  (4)
 101  (5)
-----
 000

Y así hasta terminar...

--------------------------------------------------------------------

Poniendo límites al número de palillos a sacar puede darse que debido a eso no pueda alcanzarse una posición ganadora y puede que hasta deje de existir una estrategia ganadora.



18 Junio, 2013, 01:29 pm
Respuesta #3

Piockñec

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
¡qué interesante!
Algo así leí en un libro de matemáticas que estaba en pdf online, muy muy perdido, me costó trabajo volverlo a encontrar, de "juegos y curiosidades matemáticas" (bastante avanzado... para mi nivel xD) hablaban de la paridad de las matrices, pero no encontré que era eso, y me quedé sin comprenderlo. Ahora entiendo ;) or exclusiva! hahaha

Muchas gracias, abdulai! lo analizaré con detalle y tranquilidad :D

18 Octubre, 2019, 04:38 am
Respuesta #4

Richard R Richard

  • Ingeniero Industrial
  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 447
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
El jugador que empieza es el que puede ganar siguiendo una estrategia ganadora.

La estrategia es dejar siempre en el tablero, una cantidad de palillos  que sea múltiplo de 4.

Si por desgracia , no somos los que iniciamos la partida , pero tenemos la suerte de que el otro jugador desconoce esta estrategia, si en nuestra mano  dejamos una cantidad múltiplo de 4 palillos, habremos tomado la iniciativa, y ganaremos la partida.



Saludos  \(\mathbb {R}^3\)