Otra forma de buscar un vector normal es hallar primeramente un vector del plano; para ello basta que restes dos cualesquiera de esos puntos; por ejemplo:
\( v=A-C=(a_{1},a_{2},a_{3})-(c_{1},c_{2},c_{3})=(a_{1}-c_{1},a_{2}-c_{2},a_{3}-c_{3}) \)
El vector que multiplicado escalarmente por éste dé cero es perpendicular al vector "v":
\( v \perp=(x,y,z)\Rightarrow \)
\( (a_{1}-c_{1},a_{2}-c_{2},a_{3}-c_{3})\circ(x,y,z)=x(a_{1}-c_{1})+y(a_{2}-c_{2})+z(a_{3}-c_{3})=0 \)
(y aquí tienes que buscar uno que no sea combinación lineal de otro vector del plano, y ése sería perpendicular al plano; por si tienes la ecuación, lo más rápido es que uses los coeficientes como te ha dicho Aladan).
Por otra parte, si consideras que el punto de corte de los ejes cartesianos es \( (0,0,0) \) por ejemplo, y quieres encontrar las coordenadas del punto “p” (que tú llamas equis en el dibujo) haces:
\( t(x,y,z)+(c_{1},c_{2},c_{3})=(p_{1},p_{2},p_{3}) \)
Si quieres que "p" esté a una distancia determinada, pues antes de esto igualas el módulo del vector a esa distancia para hallar "t".
Saludos.
