[Licha]

Hola, ¿me ayudan a plantear la "integral de linea" del siguiente problema?
Me piden también usar "Green", pero no me resultó muy difícil resolverlo ya que pasando a polares la integral doble, en no mas de tres lineas llegué al resultado correcto.

PROBLEMA
Una partícula se mueve desde el punto (-3,0) a (3,0) y luego por la curva \( Y=\sqrt{9-x^2} \) hasta el punto inicial.
Calcule \( \displaystyle\int_{\gamma}F \) siendo \( F=(x, x^3+3xy^2) \).
Realice todos los gráficos correspondientes.
Use Green


Por integral de linea

\( C=\displaystyle\int_{\gamma1}U\displaystyle\int_{\gamma2} \)

\( \displaystyle\int_{\gamma1}=(-3,0) a (3,0) \)

\( \displaystyle\int_{\gamma2}=Y=\sqrt{9-x^2} \)

________________________________________________________

\( \displaystyle\int_{\gamma}(P.dx+Q.dy) \)

\( \displaystyle\int_{\gamma}(x.dx+(x^3+3xy^2).dy) \)

?

Por Green

\( \displaystyle\int\displaystyle\int_{D}(\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy}).dxdy \)

\( \displaystyle\int\displaystyle\int_{D}(3x^2+3y^2-0).dxdy \)

...

\( \frac{243}{4}.p_i \)

[Tanius]

No he entendido mucho. ¿Cuál es exactamente tu duda?

[Tanius]

Si lo que preguntas es por las parametrizaciones, puedes tomar \( \gamma _1 :[-3,3]\to \mathbb{R} \) dada por \( \gamma _1 (t)=(t,0) \) y \( \gamma _2 : [0,\pi ]\to \mathbb{R} \) dada por \( \gamma _2 (t)= (\red 3\black\cos (t) , \red 3\black\sen (t)) \).

Entonces la curva que se mueve del punto \( (-3,0) \) al punto \( (3,0) \) (en línea recta), luego de \( (3,0) \) al punto \( (-3,0) \) por la curva \( y= \sqrt{9-x^2} \) es la imagen de \( \gamma = \gamma _1 +\gamma _2 \).

Es decir, \( \int_{\gamma }F = \int_{\gamma _1}F+\int_{\gamma _2}F \)

[Licha]

No he entendido mucho. ¿Cuál es exactamente tu duda?

Mi duda es como llego al resultado que obtuve con Green, pero ahora usando integrales de linea!

Si lo que preguntas es por las parametrizaciones, puedes tomar \( \gamma _1 :[-3,3]\to \mathbb{R} \) dada por \( \gamma _1 (t)=(t,0) \) y \( \gamma _2 : [0,\pi ]\to \mathbb{R} \) dada por \( \gamma _2 (t)= (\cos (t) , \sen (t)) \).

Entonces la curva que se mueve del punto \( (-3,0) \) al punto \( (3,0) \) (en línea recta), luego de \( (3,0) \) al punto \( (-3,0) \) por la curva \( y= \sqrt{9-x^2} \) es la imagen de \( \gamma = \gamma _1 +\gamma _2 \).

Es decir, \( \int_{\gamma }F = \int_{\gamma _1}F+\int_{\gamma _2}F \)

Creo que me va a resultar mas cómodo encararla con coordenadas polares, pero dime como me quedarían exactamente las integrales planteadas!

A lo mejor algo así?

\( \displaystyle\int_{\gamma}(x.dx+(x^3+3xy^2).dy) \)

= \( \displaystyle\int_{\gamma1}(x.dx+(x^3+3xy^2).dy) \) + \( \displaystyle\int_{\gamma2}(x.dx+(x^3+3xy^2).dy) \)

= \( \displaystyle\int_{0}^{p_i} (3.Cos(a).-3.Sen(a) \)+\( (3^3.Cos(a)^3 + 3.3. Cos(a). 3^2.Sen(a)^2).3.Cos(a)).da \)

[Tanius]

Me resulta muy confuso lo que escribiste. No es más que hacer cuentas. La segunda integral es por definición:

\( \displaystyle\int_{\gamma _2}F : = \displaystyle\int_{0}^{\pi}F(\gamma _2(t))\cdot{\gamma _2'(t)}dt \)

Ten en cuenta que \( F(\gamma _2 (t))=(\red 9\black\cos (t), \red 27\black\cos ^3 (t)+\red 81\black\cos (t)\sen ^2(t)) \) y \( \gamma ' _2(t)=(-\red 3\black\sen (t), \red 3\black\cos (t)) \).

Supongo que cuando dices por coordenadas polares te refieres a que es más fácil hacerlo con el teorema de Green. En efecto es así. Para eso sirven estos teoremas, naturalmente.

[Licha]

Me resulta muy confuso lo que escribiste. No es más que hacer cuentas. La segunda integral es por definición:

\( \displaystyle\int_{\gamma _2}F : = \displaystyle\int_{0}^{\pi}F(\gamma _2(t))\cdot{\gamma _2'(t)}dt \)

Ten en cuenta que \( F(\gamma _2 (t))=(\cos (t), \cos ^3 (t)+3\cos (t)\sen ^2(t)) \) y \( \gamma ' _2(t)=(-\sen (t), \cos (t)) \).

Supongo que cuando dices por coordenadas polares te refieres a que es más fácil hacerlo con el teorema de Green. En efecto es así. Para eso sirven estos teoremas, naturalmente.

No, con el teorema de Green se me pedía que calcule "también"... seria como para verificar con este, el mismo resultado que me debería de dar usando integrales de linea (solo que por este método no me sale).

Por coordenadas polares me refiero a:

x=r.Cos(t)
dx=-r.Sen(t).dt
y=r.Sen(t)
dy=r.Cos(t).dt

t: varia de 0 a Pi

PD: Valoro mucho tu interés en ayudarme. 

[Tanius]

Lo siento mucho, me equivoqué en la segunda parametrización. En realidad debe ser \( \gamma _2 (t)= (3\cos (t), 3\sen (t)) \) con \( t\in{[0, \pi]} \).

De esta forma tenemos

\( F(\gamma _2 (t))= (3\cos (t),27\cos ^3(t)+81\cos (t)\sen ^2(t)) \) y \( \gamma _2'(t) = (-3\sen (t),3\cos (t)) \)

Luego, el producto punto queda

\( -9\cos (t)\sen (t)+3\cos (t)(27\cos ^3(t)+81\cos (t)\sen ^2 (t)) \)

Un chequeo rápido con Wolframalpha nos confirma el resultado correcto:
Click

[Licha]

Uff... hasta que pude llegar al resultado 

\( \int_0^{\pi } \frac{81}{4} (2 \cos (2 a)-\cos (4 a)+3) \, da=\frac{243 \pi }{4} \)

Muchisimas gracias por su compromiso en ayudarme, el desarrollo estuvo muy denso pero llegue al resultado. Me hacia falta ese empujon que usted me dio.

Saludos.