[Diego]

Hola foro    estaba resolviendo estoy llevando el Spivak pero la verdad en límites y continuidad me da trabajo demostrar algunas cosas. Es por eso les quiero pedir apoyo en los siguientes problemas.

1. Supongasé que \(  f (x) \leq{g (x)} \leq{h (x)} \) y que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f (x)} = \displaystyle\lim_{x \to{a}}{h (x)} \). Demostrar \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g (x)} \) y que \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{g (x)} = \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f (x)} = \displaystyle\lim_{x \to{a}}{h (x)} \).

2. Demostrar que si \(  f (x) = \left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si }x\mbox{ es racional}\\ 0 & \mbox{si }x\mbox{ es irracional}\end{matrix}\right.   \), entonces no existe \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f (x)} \) cualquiera que sea \( a \).

3. Demostrar que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\0}{f (\displaystyle\frac{1}{x})} = \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f (x)} \).

4. Supongasé que \( f \) satisface \( f (x + y) = f (x) + f (y) \), y que \( f \) es continua en 0. Demostrar que \( f \) es continua en \( a \) para todo \( a \).

5. Demostrar que toda función continua \( f \) puede escribirse de la forma \( f = E + O \), donde \( E \) es par y continua y \( O \) es impar y continua.

6. Supongasé que \( f \) es continua y que \( f (x) \) siempre toma valores racionales ¿Qué puede decirse de la función \( f \)?

El problema 1 y 5 la verdad no sé cómo empezar.

El 2 sería la función si existe pero no el límite. ¿Cómo lo demuestro?

El 3 no tengo idea porque no vi demostración de limites cuando tiene a infinito 

El 4 lo resolví así:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f (x)} = \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f (a + h)} = \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f (a)} + \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f (h)} = f (a) + f (0) = f (a) \)

por lo tanto \( f \) es continua en todo \( a \)

El 6 yo creo que es con alguno de los 3 teoremas fuertes.

Muchas gracias por su atención y espero que estas dudas sean de su agrado 

[Tanius]

Para los primeros tres problemas, te aconsejo que te concentres en usar las correspondientes definiciones de límite.

Para el 4, no puedes asegurar que \( f(a+h)=f(a)+f(h) \). Es decir, no hay nada como hipótesis que te diga que puedes utilizar alguna igualdad de esa forma.

Para el 5, escribe \( f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2} \).

En cuanto al 6, piensa qué pasa si toma dos valores distintos y ten en cuenta el teorema de valor intermedio.

[pierrot]

Hola.

Para el 4, no puedes asegurar que \( f(a+h)=f(a)+f(h) \). Es decir, no hay nada como hipótesis que te diga que puedes utilizar alguna igualdad de esa forma.

Salvo que el mensaje haya sido editado posteriormente, yo veo esto:

4. Supongasé que \( f \) satisface \( f (x + y) = f (x) + f (y) \), y que \( f \) es continua en 0. Demostrar que \( f \) es continua en \( a \) para todo \( a \).

Estaría aplicando la hipótesis con \( x=a \) e \( y=h \), ¿no?

Saludos.

[Tanius]

Tienes razón creo que me confundí con las hipótesis entre tantos problemas.

Por cierto, hay que escribir el detalle de que \( f(0)=0 \).

[pierrot]

Por cierto, hay que escribir el detalle de que \( f(0)=0 \).

¡Es verdad!

[Tanius]

El 2 puede resolverse así:

Sea \( L\in{\mathbb{R}} \) y \( a\in{\mathbb{R}} \). Vamos a probar que \( L \) no es el límite de \( f(x) \) cuando \( x\to a \).

Si \( L =0  \), sean \( \epsilon = 1>0 \), \( \delta >0 \) y \( x \) un racional que satisface \( 0<|x-a|<\delta \). Se tiene que \( |f(x)- L| = \epsilon  \).

Si \( L\neq 0 \), sean \( \epsilon = |L|>0 \), \( \delta >0 \) y \( x \) un irracional que satisface \( 0<|x-a|<\delta \). Se tiene que \( |f(x)- L| = \epsilon  \).

Esto prueba que \( L \) no es dicho límite.

[Diego]

Sí, tomé \( x = a \) e \( y = h \) para que no se viera tan obvio 

El 1. lo resolví así:

\( L - \epsilon < f (x) \leq{g (x)} \leq{h(x)} < L + \epsilon \) por lo tanto \( g(x) - L < \epsilon \)

El 2 está buena la demostración.

Sobre el 3 todavía tengo dudas del \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f (x)} \) no sé manejar infinitos.

El 5 me gustó mucho el pensamiento siempre te da \( f = f \) habiendo un par e impar.

Y la 6 ¿valor intermedio? Tengo el que pasa por \( f (x) = 0 \), el otro es que \( f \) esta acotada superiormente y el último es el del punto máximo. ¿Cuál sería el del valor intermedio?

Muchas gracias por su ayuda 

[Tanius]

Tengo el que pasa por \( f (x) = 0 \)

Entiendo que te refieres a que si tienes \( a,b \in{\mathbb{R}} \) con \( f(a)<0<f(b) \) entonces existe \( x \) tal que \( f(x) = 0 \), donde \( f \) es una función continua.

Supón ahora que tienes que existen \( a,b,z\in{\mathbb{R}} \) tales que \( f(a)<z<f(b) \). Considera la función continua \( g(x)=f(x)-z \). Observa que \( g(a)<0<g(b) \). Por el teorema antes mencionado, existe \( y \) tal que \( g(y)=0 \), es decir, \( f(y)=z \).

Lo anterior demuestra que el teorema que tienes vale para cualquier real \( z \) intermedio entre dos valores de la función, y no sólo cuando \( z=0 \).

Spongamos ahora que \( f \) es continua y sólo toma valores en los racionales. Supongamos además que existen \( a,b \in{\mathbb{R}} \) tales que \( f(a)< f(b) \). Sea \( z \) un número irracional que satisface \( f(a)<z<f(b) \). Por el teorema antes mencionado, existe \( y \) tal que \( f(y)=z \), contradiciendo que \( f \) sólo toma valores racionales. Esta contradicción muestra que \( f \) debe ser una función constante.

[Diego]

Entonces se podría decir; para que \( f \) sea continua, los valores de \( f (x) \) deben ser constantes, por lo tanto no existe un valor intermedio, siempre \( f (x) = c \) siendo \( c \) una constante distinto a los irracionales.