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¡Hola!
Tengo el siguiente ejercicio, ¿me lo pueden revisar?
Halle el área de la región comprendida entre las curvas cuyas ecuaciones son: \( y=\log x \) e \( y=\log^2 x \)

Mmm... sé que primero debo encontrar los puntos de intersección, para ello hice lo siguiente: igualo.

\( \log x=\log^2 x \Rightarrow \log x=\log x\cdot \log x \)
Luego \( 1=\log x \) de donde \( x=e \)
Además como \( \log 1=0 \) entonces el otro punto de intersección sería \( x=1 \).
Integro
\( \displaystyle\int_1^e (\log x-\log^2x)dx \)
¿es correcto cómo tengo la integral planteada? ¿lo que salga será el resultado del área, no? Sólo que aún no hago la integral 
¡Gracias!

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He hecho la integral por partes y me da como resultado final:
e-2>0

[pierrot]

Hola.

\( \displaystyle\int_1^e (\log x-\log^2x)dx \)
¿es correcto cómo tengo la integral planteada?

Es correcto. No sé si lo hiciste, pero deberías corroborar analíticamente que \( \log x-\log^2x\geq 0 \) en \( [1,e] \). Para eso puedes llamar \( y=\log x \) con lo cual la desigualdad se transforma en \( y-y^2=(1-y)y\geq 0 \). Esta se verifica si, y sólo si, \( y\in [0,1] \), o sea que lo que hay que mostrar es que \( 0\leq \log x\leq 1 \) para \( x\in [1,e] \).

He hecho la integral por partes y me da como resultado final:
e-2>0

¿Cómo la calculaste? Creo que el resultado es \( 3-e \). Revisa las cuentas.

Saludos.

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¡Muchas gracias! Ya lo revisé con más calma, corroboré y sí llegué al resultado que me comentas.
¡Gracias pabloN!