[AnaGalois]

Quiero mostrar que si H es cerrado bajo \( \circ{} \), con \( (G,\circ{}) \) un grupo, entonces \( H\leq{G} \), pero sin utilizar que si \( g\in{H} \) y su orden es n, entonces \( g^n=e_G \)

[AnaGalois]

¿Vale lo siguiente?

\( \text{ Sea } a\in{H} \text{ entonces} \left\{{a^n|n\in{\mathbb{N}}}\right\}\subseteq{H},\text{luego  }a^0\in{H}\text{ pero }a^0=a\circ{a^{-1}} \text{ como H es cerrada bajo }\circ{} \text{entonces } a^{-1}\in{H} \)

[Tanius]

Quiero mostrar que si H es cerrado bajo \( \circ{} \), con \( (G,\circ{}) \) un grupo, entonces \( H\leq{G} \)

Esto es falso. Por ejemplo, considera \( H= \left\{{x\in{\mathbb{R}} :x\ge 5}\right\} \) como subconjunto del grupo \( (\mathbb{R},+) \). Es fácil comprobar que \( H \) es cerrado bajo la suma, pero no es un subgrupo de \( \mathbb{R} \).

[Luis Fuentes]

Hola

 Supongo que falta la hipótesis de que \( G \) es un grupo finito.

 En ese caso el resultado es cierto, pero no estoy seguro de exactamente que puedes utilizar y que no. Y el motivo de esas restricciones.

 El argumento que plantes, AnaGalois, no está bien:

 - ¿Qué te permite afirmar que \( a^0\in H \)?.

 - Qué \( a\circ a^{-1}\in H \) no te asegura que \( a^{-1}\in H \)

 Lo lógico es usar que si el grupo es finito para cualquier elemento \( a\in H \) existe un \( n \) tal que \( a^n=e \). Pero me parece que eso es lo que no quieres utilizar. ¿Por qué?.

Saludos.

[AnaGalois]

Bueno, el_manco, tienes razón, me faltó poner hipótesis, el enunciado original dice que si H es un subconjunto finito no vacío de G, y es cerrado bajo operación entonces es subgrupo de G.

- ¿Qué te permite afirmar que \( a^0\in H \)?.

 - Qué \( a\circ a^{-1}\in H \) no te asegura que \( a^{-1}\in H \)

 Lo lógico es usar que si el grupo es finito para cualquier elemento \( a\in H \) existe un \( n \) tal que \( a^n=e \). Pero me parece que eso es lo que no quieres utilizar. ¿Por qué?.

Según yo tenemos como "definicion" que \( a^0 =e \), sin embargo, ahora me doy cuenta que antes necesitamos que \( e\in{H} \). Y ahora tambien recuerdo porqué no quería usar \( a^n=e \), esto era que no me quedaba claro porqué eso sí pasaba, pero es porque H es finito, no?
Pero sigo sin entender porqué dices que si \( a\circ a^{-1}\in H \) entonces \( a^{-1}\in H \)

[Luis Fuentes]

Hola

Según yo tenemos como "definicion" que \( a^0 =e \), sin embargo, ahora me doy cuenta que antes necesitamos que \( e\in{H} \).

Correcto.

Y ahora tambien recuerdo porqué no quería usar \( a^n=e \), esto era que no me quedaba claro porqué eso sí pasaba, pero es porque H es finito, no?

Pasa porque \( G \) es finito. Es decir en un grupo finito cualquier elemeto tiene una potencia que da el neutro.

Pero sigo sin entender porqué dices que si \( a\circ a^{-1}\in H \) entonces \( a^{-1}\in H \)

Es que yo lo que digo es que eso NO se cumple.

Que el producto de dos elementos esté en \( H \) no asegura que alguno de ellos también esté en \( H \).

Saludos.