[AnaGalois]

Debo mostrar que si \( a\in{G} \), donde G es grupo finito, entonces existe \( n\in{\mathbb{Z^+}} \), talque \( a^n=e \), donde e es la identidad en G.
No entiendo muy bien como mostrarlo, en el libro te ponen un hint, que consideres \( a,a^2,a^3,...,a^m \), donde m es el orden de G; pero qué me asegura que los elementos de G son de esa forma, este problema está diciendo que todo grupo finito es cíclico?

[Gustavo]

No se asegura que todos los elementos de G son de esa forma (aunque puede pasar). Lo que pasa es que cuando empiezas a tomar potencias de \( a \) vas tomando otros elementos de G, pero G sólamente tiene un número finito de elementos, luego necesariamente las potencias se repiten; de lo contrario el grupo no sería finito.

[AnaGalois]

...cuando empiezas a tomar potencias de \( a \) vas tomando otros elementos de G...

podrías explicar un poco más esta parte?
como que vas tomando otros elementos de G?

[Gustavo]

Sí. Como \( G \) es un grupo, es cerrado bajo la operación \( \ast \) asociada a él. Dado que \( a\in G,\ a\ast a=a^2\in G, \) luego \( a^2 \ast a=a^3\in G \) y así para cualquier potencia de \( a. \) A eso me refiero con que vas tomando elementos de \( G. \) Dado que todas las potencias están en \( G, \) en particular están \( a,a^2,\cdots ,a^{m+1}. \) Ahora tienes \( m+1 \) elementos en un conjunto con \( m \) elementos, es decir que necesariamente hay por lo menos dos iguales, digamos, \( a^k=a^j \) con \( 1\le j<k\le m+1. \) De ahí se concluye que \( a^{k-j}=e. \)

[AnaGalois]

Ah! te referías a que esto siempre pasa: \( \left\{{a^k|k\in{\mathbb{N}}}\right\}\subseteq{G} \), con \( a\in{G} \)
Ya entendí, gracias