Pues depende de cómo definas el concepto de función.
La definición más usual es la habitual en teoría de conjuntos, según la cual una función \( f \) es un conjunto de pares ordenados con la propiedad de que si \( (x,y)\in f\land (x, z)\in f \) entonces \( y=z \).
Con esta definición se demuestra que dos funciones \( f \) y \( g \) son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio \( D \) y para todo \( x\in D \) se cumple \( f(x)=g(x) \). Cuando se cumple esto, automáticamente se cumple que ambas tienen la misma imagen. No es necesario exigirlo en la caracterización de la igualdad.
En estos términos, \( f: A\longrightarrow B \) y \( g: A\longrightarrow C \) pueden ser iguales aunque \( B\neq C \).
Ahora bien, los que en lugar de pensar "conjuntistamente" prefieren pensar "categóricamente", es decir, en términos de la llamada teoría de categorías, prefieren definir una función como una terna \( (f, A, B) \), donde \( f \) es una función en el sentido conjuntista, \( A \) es su dominio, y \( f[{}A]\subset B \). En estos términos, para que \( f: A\longrightarrow B \) y \( g: A\longrightarrow C \) sean iguales es necesario que \( B=C \).
No podría darte estadísticas, pero creo que esta segunda opción es minoritaria.
