Sé que este ejercicio me puede servir mucho, pero no tengo idea como hacerlo.
. Encontrar los valores de a, b y c tales que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tenga: 1) exactamente una solución, 2) infinitas soluciones 3) ninguna solución.
x + 5y + z = 0
x + 6y - z = 0
2x + ay + bz = c
Hola. Tienes que mirarte el teorema de Rouché-Frobënius, con eso es con lo que se soluciona.
No obstante, se puede hacer de otra forma menos automática.
Cada una de estas tres ecuaciones representa un plano, y cada conjunto de dos ecuaciones —combinadas— representa una recta (que también hay tres rectas, porque puedes combinar la primera con la segunda, la primera con la tercera, y la segunda con la tercera).
\( x + 5y + z = 0 \)
\( x + 6y - z = 0 \)
\( 2x + ay + bz = c \)
Si las tres rectas se cortan en un mismo punto, ese punto es común a las tres y es único, no puede haber más de un punto en el que se corten las tres; esto es fácil de ver dibujando tres rectas en 3D. Luego cuando las tres rectas se cortan en un punto, sólo existe una solución y esa solución es ese punto común donde se cortan.
Técnicamente, lo que tienes que hallar es el determinante de la matriz; los valores cualesquiera, para la terna “a,b,c” capaces de conseguir que el determinante sea distinto de cero, te darán como resultado una terna “x,y,z” concreta; y ése será el punto de corte.
Lógicamente, el plano dado por la última ecuación, al venir algunos coeficientes de la ecuación dados por letras que pueden tener cualquier valor
\( 2x + ay + bz = c \)
representa muchos planos posibles según el valor que tomen las letras; por tanto, cuando digo que, si el determinante NO es cero, sólo existe un punto de corte o única solución, digo que existe una sola solución para cada terna posible según se determinen esos coeficientes, no una sola solución “x,y,z” para todas las ternas “a,b,c” que hacen el determinante cero.
En conclusión, cuando halles el determinante, si lo igualas a cero, de ahí te saldarán los valores para “a,b,c” para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones (te saldrán resolviendo la ecuación del determinante igualada a cero). Y eso es lo que tienes que hacer para decir cuándo el sistema NO tiene una única solución (y con esto ya contestas prácticamente a las dos primeras preguntas).
Pero también se pueden hallar valores para esas condiciones de esta forma:
Para que el sistema tenga infinitas soluciones basta que dos ecuaciones sean exactamente las mismas o también puedes solucionarlo haciendo que una sea igual a otra multiplicada por un número: una cosa rápida que podrías hacer, (aunque yo no sé si gustaría al profesor, pero lo cierto es que es una posibilidad que existe) para las ecuaciones
\( x + 5y + z = 0 \)
\( 2x + ay + bz = c \)
es realizar este cambio
\( c=x \) (porque así, al despejar “c”, te queda una sola “x” como en la ecuación de arriba),
y después haces \( a=5 \), \( b=1 \).
Pero esto supone otorgarle a “c” el valor de la variable “x”, y no creo que se trate de eso.
Lo suyo es hacer \( c=0 \) para seguir haciendo después
\( \dfrac{1}{2} \cdot (2x + ay + bz) =x + 5y + z \)
Luego, esto mismo, haciendo también “c=0”, lo haces con la ecuación que falta por usar (la segunda) y con la tercera.
Y ya supongo que ves enseguida qué valores pueden ser.
Por último, para que no tenga ninguna solución el sistema, puedes usar eso mismo pero con el signo “distinto de”, buscando desigualdades; dicho con otras palabras, buscando que la igualdad sea imposible para que el sistema se incompatible.
Saludos.
