[cibernarco]

hola gente me dieron este ejercicio y la verda no eh podido terminarlo

Construir aplicaciones lineales con las siguientes condiciones y encontrar la expresion de \( T(x) \)

a)\( f: R^4\rightarrow{r^3}/ dim(N(f))=Dim (im (f)) \)

en verdad tengo el ejercicio hecho, pero me gustaria hacerlo desde cero,  el primer analisis que hace en el ejercicio echo es que es la dimension del nucleo es=2 y la de la imagen tambien , pero no entiendo porque es 2?

[trash-r]

Para ser honesto, creo no entender del todo el ejercicio.
¿Te piden hallar \( f:\mathbb{R}^4\longrightarrow{}\mathbb{R}^3 \) tal que \( \dim(N(f)) = \dim(Im(f)) \)?

Quizás acá sería conveniente tener en mente que \( \dim(N(f)) + \dim(Im(f)) = 4 \), de ahí es inmediato que la dimensión del núcleo y la imagen debe ser 2, si quieres hacer las cuentas basta con reemplazar \( \dim(Im(f)) \) por \( \dim(N(f)) \) y y resolver para \( \dim(N(f)) \).

[cibernarco]

si eso pide, bueno  luego de sañala eso de las dimensiones tomando en cuentas las bases canonicas en \( R^4 Y R^3 \) en el ejrcicio resuelto queda esto

T(1,0,0,0)=(0,0,0), T(0,1,0,0)=(0,0,0) , T(0,0,1,0)=(1,0,0), T(0,0,0,1)=(0,1,0)

como llega eso? no entendi esa parte?

Pd: lo voy copiando de a poco asi voy entendiendo paso por paso, si considerandan algo del ejercicio esta mal diganmelo,porque lo hizo un caompañero y noa seguro que este bien

[cibernarco]

hola si alguien puede darme una ayuda en esto se lo agradeceria, lo necesito saber con urgencia

[alespa07]

Hola.

Si recuerdas el teorema del rango, según el cual \( dim(E)=dim[N(T)]+dim[Im(T)] \) donde \( E \) es tu espacio vectorial de partida, tu problema resulta inmediato.

En tu caso tienes que \( E=\mathbb{R}^4 \) de dimension \( 4 \). Entonces, si fijas que \( dim[N(T)]=2 \) tienes que \( dim[Im(T)]=2 \) y basta con construir una aplicación lineal cuya matriz tiene 2 columnas nulas (así consigues que el núcleo sea de dimensión al menos 2) y dos columnas no nulas y linealmente independientes (con lo que la imagen es de dimensión 2).

Así es como llegas a la solución que ya tienes.

Un saludo.

[cibernarco]

muy bien, ahora en esto T(1,0,0,0)=(0,0,0), T(0,1,0,0)=(0,0,0) , T(0,0,1,0)=(1,0,0), T(0,0,0,1)=(0,1,0)

como sabemos que t(x) tendra nucleo de dimension 2 , es que dan dos igualados a (0,0,0), T(1,0,0,0)=(0,0,0), T(0,1,0,0)=(0,0,0)? y si hubiera sido de dimension 3 quedaria  T(1,0,0,0)=(0,0,0), T(0,1,0,0)=(0,0,1) , T(0,0,1,0)=(1,0,0), T(0,0,0,1)=(0,1,0)? osea con una fila anulada nomas?

[trash-r]

como sabemos que t(x) tendra nucleo de dimension 2 , es que dan dos igualados a (0,0,0), T(1,0,0,0)=(0,0,0), T(0,1,0,0)=(0,0,0)? y si hubiera sido de dimension 3 quedaria  T(1,0,0,0)=(0,0,0), T(0,1,0,0)=(0,0,1) , T(0,0,1,0)=(1,0,0), T(0,0,0,1)=(0,1,0)? osea con una fila anulada nomas?

Recuerda que si es \( T:V\longrightarrow{W} \) para definir completamente la transformación basta con definir las transformaciones de los vectores de una base de \( V \).
No hay una única transformación que cumpla lo pedido, y bastaría definir para cualquier base de \( \mathbb{R}^4 \) \( \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \) \( T(v_i) = 0 \) y \( T(v_j)=0 \) con \( i\neq{}j \), mientras que para los restantes puede definirse como se desee siempre que las transformaciones de estos últimos den lugar a vectores linealmente independientes -o de lo contrario la imagen de \( T \) no tendría dimensión 2-.

En el caso que añadiste al final no entendí que quisiste plantear, si te referías al núcleo ten en mente que una base para el núcleo sería \( \{(1,0,0,0)\} \) por lo que tendría dimensión 1, no 3 -¿puede que estuvieras pensando en la imagen?-.

[cibernarco]

o seaq \( T(v_i) = 0 \) y \( T(v_j)=0 \)  y para los restantes elijo los de las bases canonica que cumple eso que dices? lo que sigo sin enteder es porque a \( T(v_i) = 0 \) y \( T(v_j)=0 \) a estos se los igual a cer y a los dos restantes a la base canonica en R3, ¿ es porque la dimension es 2?

[trash-r]

o seaq \( T(v_i) = 0 \) y \( T(v_j)=0 \)  y para los restantes elijo los de las bases canonica que cumple eso que dices?

Si escoges dos vectores distintos de la base canónica, sí, se cumple, pero basta con que sean vectores linealmente independientes de \( \mathbb{R}^3 \).

lo que sigo sin enteder es porque a \( T(v_i) = 0 \) y \( T(v_j)=0 \) a estos se los igual a cer y a los dos restantes a la base canonica en R3, ¿ es porque la dimension es 2?

Sí, después de todo, si esos son los únicos vectores cuya transformación es cero y las transformaciones de los otros dos son independientes, entonces \( \{v_i, v_j\} \) será una base para el núcleo de la transformación.

Pero ten en mente que estamos dando ejemplos de casos particulares, como \( \dim(N(f)) + \dim(Im(f)) = 4 \) cualquier transformación de \( \mathbb{R}^4 \) a \( \mathbb{R}^3 \) cuyo núcleo -o imagen- sea 2 cumplirá lo pedido. Lo anterior no es más que una manera conveniente de tener algunos ejemplos.

[cibernarco]

excelente voy entendiendo, ahora siguiendo lo que esta hehco es esto

(x,y,z,w)=a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)

y de ahi x=a. y=b, z=c  y w=d

y ahora el paso que no entiendo

de repente aparece esto t(x,y,z,w)=x.t(1,0,0,0)+yt(0,1,0,0)+ zt(0,0,1,0)+wt(0,0,0,1)

que sgnifica que haga eso?, porque lo hace?