El método de reducción para integrales irracionales o bien mediante racionalización. En ambos casos se establece la solución de integrales de la forma:
\( \displaystyle\int_{}^{} R(x,\sqrt[ ]{ax^2+bx+c})\ dx=\displaystyle\int_{}^{} R(x,y)}\ dx \) con \( y=\sqrt[ ]{ax^2+bx+c} \)
aunque es necesario en este caso realizar el paso previo que mostré en un mensaje anterior para convertir la integral del enunciado en una de este tipo lo que se consigue con el cambio \( x^2=t \).
En general cuando la parte irracional contiene polinomios de grado mayor que 2 la integral no puede expresarse como combinación de funciones elementales. Para grado 3 o 4 el método conduce a las integrales elípticas y para grado superior a funciones más complejas de las que no puede obtenerse una primitiva.
NOTA: Piensa que una integral de la forma:
\( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{t}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-B^2}{At+B^2}}\ dt \)
se convierte en una del tipo:
\( \displaystyle\int_{}^{} R(t,\sqrt[ ]{at^2+bt+c}\ dt=\displaystyle\int_{}^{} R(t,y}\ dt \) con \( y=\sqrt[ ]{at^2+bt+c} \)
sin más que multiplicar numerador y denominador por \( \sqrt[ ]{t-B^2} \)
\( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{t}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-B^2}{At+B^2}}\ dt=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{t}{\displaystyle\frac{t-B^2}{\sqrt[ ]{(At+B^2)(t-B^2)}}\ dt=\displaystyle\int_{}^{} R(t,\sqrt[ ]{at^2+bt+c}\ dt=\displaystyle\int_{}^{} R(t,y)}\ dt \)
que siempre puede racionalizarse o bien aplicarle el método de reducción.
Salu2
