[lmods]

Demostrar directamente que las siguientes sucesiones no son de Cauchy:
(a) \( \left\{{(-1)^n}\right\} \)
(b) \( \left\{{n+\displaystyle\frac{(-1)^n}{n}}\right\} \)
(c) \( \left\{{n^2}\right\} \)

Lo que sé es que para demostrar directamente ésto, lo que tengo que hacer es negar la condición que hace que una sucesión sea de Cauchy. Esto es:
\( \exists{\epsilon>0}: \forall{N\in{\mathbb{N}}} \), \(  \exists{m,n\geq{N}} \) \( \wedge \) \( \left |{x_n - x_m}\right |\geq{\epsilon}  \)

Pero de ahí ya no sé como proceder 

[Gustavo]

Que sea sucesión de Cauchy significa que a partir de un índice \( N \) lo suficientemente grande, la distancia entre cualquier par de términos es menor que un \( \varepsilon>0 \) fijo dado. Dicho esto,

(a) Nota que la distancia entre cualquier par de términos consecutivos es 2.

(b) Fíjate en la distancia entre términos pares.

(c) Nota que la distancia entre cualquier par de términos es mayor que 1.