[lmods]

Sea \( X=(x_n) \) una sucesión de números reales estrictamente positivos tal que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_n}}>1 \). Demostrar que no es una sucesión acotada y por lo tanto no es convergente.

Les estaré agradecido con lo qué puedan ayudarme.

[numbsoul]

Como el límite es mayor que uno,a partir de un momento la sucesión es siempre mayor que una constante \( c \) mayor que \( 1 \) (para verlo,tomar \( 0<d<L-1 \) y \( \varepsilon=L-(1+d) \) en la definición del límite)

Luego,existe \( n_{0} \) tal que \( x_{n+1}>cx_{n}\;\forall n\geq n_{0} \).

Tenemos \( x_{n_{0}+1}>cx_{n_{0}} \),\( x_{n_{0}+2}>cx_{n_{0}+1}>c^{2}x_{n_{0}} \) y en general \( x_{n_{0}+k}>c^{k}x_{n_{0}} \) para todo \( k\in\mathbb{N} \)