[Ialgra]

Hola, buenos dias. Mi pregunta es sobre el siguiente problema:
Usando la identidad \( (1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n} \), calcula el valor de la suma \( \displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\binom{n}{i}^2 \).

La forma de la que he procedido es la siguiente: He hecho \( (1+x)^n =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\binom{n}{i}x^i \), y \( (1+x)^{2n}=\displaystyle\sum_{i=0}^{2n}\displaystyle\binom{2n}{i}x^i \)
Sustituyendo para x=1, y en la identidad del principio tendre:
\( (\displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{1}+...+\displaystyle\binom{n}{n})(\displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{1}+...+\displaystyle\binom{n}{n})=\displaystyle\binom{2n}{0}+...+\displaystyle\binom{2n}{2n}\Longleftrightarrow{(\displaystyle\binom{n}{0}\displaystyle\binom{n}{0}+...+\displaystyle\binom{n}{0}\displaystyle\binom{n}{n})+(\displaystyle\binom{n}{1}\displaystyle\binom{n}{0}+\displaystyle\binom{n}{1}\displaystyle\binom{n}{1}+...+\displaystyle\binom{n}{1}\displaystyle\binom{n}{n})+...+(\displaystyle\binom{n}{n}\displaystyle\binom{n}{0}+...+\displaystyle\binom{n}{n}\displaystyle\binom{n}{n})=\displaystyle\binom{2n}{0}+...+\displaystyle\binom{2n}{2n}} \)
de esta expresion escojo los que van a formar los cuadrados, es decir, los sumandos de la forma \( \displaystyle\binom{n}{i}\displaystyle\binom{n}{i} \), pero el resto de sumandos no sé como apañarlos. Luego me quedo en:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^n \displaystyle\binom{n}{0}^2+.....=\displaystyle\binom{2n}{0}+...+\displaystyle\binom{2n}{2n} \)
Alguien me puede ayudar a continuar? Gracias!

[yotas]

La igualdad \( (1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n} \) la puedes escribir como:

\( \left (\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\binom{n}{i}}x^{n-i}\right ) \left(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\binom{n}{i}}x^{i}\right)= \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}{\displaystyle\binom{n}{i}}x^{i}\right )  \)       (1)

recuerda que \( \displaystyle\binom{n}{i}=\displaystyle\binom{n}{n-i} \). Ahora contemos: ¿cuántos sumandos resultan del lado izquierdo de (1) al desarrollarlo de tal modo que el exponente de \( x \) sea n? ¡pues hay \( n \) ! Y cada coeficiente tiene la forma

\( \displaystyle\binom{n}{i}\displaystyle\binom{n}{n-i}=\displaystyle\binom{n}{i}^2 \)

por tanto el coeficiente de \( x^n \) al desarrollar la parte izquierda de (1) y sumar cada uno de los coeficientes resultantes es:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\binom{n}{i}^2} \)

finalmente, ¿cuál es el coeficiente correspondiente a \( x^n \) en la parte derecha de (1)?

¡Espero te ayude! Sino, pregunta. 

[Ialgra]

Perfecto, entendidísimo!!
Muchísimas gracias