[bifouma]

Hola, necesito algún consejo para hacer este problema. Dice así:

Sea \( f \) una función continua en el intervalo \( [-1,1] \). Supuesto que \( \displaystyle\int_{-1}^1 f(t) dt=1 \), para cada  \( x\in{[-1,1]} \), definimos \( F(x)= \displaystyle\int_x^{-x} f(t)dt. \) Probar que si existen \( n-1 \) puntos, \( p_1,\ldots,p_{n-1} \), en el intervalo \( (0,1) \) tales que \( F(p_i)=-p_i \), para \( i=1,\ldots,n-1 \), entonces existen al menos \( 2n \) puntos, \( q_1,\ldots,q_{2n} \), en \( (-1,1) \) en los que se cumple que \( f(q_i)+f(-q_i)=1 \).

Muchas gracias

[Héctor Manuel]

Los límites de integración son correctos? Es decir, es \( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{-x}f(t)dt \) o es \( F(x)=\displaystyle\int_{-x}^{x}f(t)dt \)?

Saludos.

[bifouma]

Sí, está correcto como puse en el enunciado, \( F(x)= \displaystyle\int_x^{-x} f(t)dt. \)

Un saludo

[Héctor Manuel]

Utiliza el Teorema de Rolle adecuadamente (toma \( g(x)=F(x)+x \) en un cierto dominio conveniente).

Saludos.

[bifouma]

Hola, sigo sin verlo, puedes especificar un poco más? Gracias

Un saludo y muchas gracias de nuevo!

[Héctor Manuel]

Toma \( g:[0,1]\to\mathbb{R} \) dada por \( g(x)=F(x)+x \).

a) \( g(0)=0 \) y \( g(1)=0 \).

b) \( g(p_i)=0 \).

c) Entonces \( g \) se anula en \( 2+(n-1)=n+1 \) lugares distintos (pues la n-1 \( p_i \) están en (0,1) y son distintas entre sí). Luego, por Rolle, \( g^\prime(x)=0 \) en \( n \) lugares distintos del intervalo \( (0,1) \). Es decir, \( F^\prime(x)=-1 \) en al menos \( n \) lugares de \( (0,1) \).

d) Calcula \( F^\prime \). Si \( t_1,\cdots,t_n \) son los puntos donde \( F^\prime(x)=-1 \), muestra que \( -t_i \) y \( t_i \) son los \( 2n \) puntos que te piden en el ejercicio.

Saludos.

[bifouma]

Muchísimas gracias!