[rrrto2005]

Hola a todos, resolviendo problemas de mi libro de álgebra me encontré con este problema que dice así: si A es un dominio de 5 elementos entonces necesariamente es isomorfo a Z5 con la suma y su multiplicación respectivo. Es obvio que como grupos son isomorfos pero falta la multiplicación que no veo por qué tienen que funcionar de la misma forma (de hecho no logro demostrar que no es posible que en un dominio de 5 elementos cada elemento sea su propio inverso multiplicativo salvo el 0). Alguna ayuda o lo estoy haciendo mal?

[Héctor Manuel]

Qué entiendes por dominio? Un campo?

Saludos.

PD: Nota que en \( \mathbb{Z}_5 \), \( 1^2=1 \) y \( 4^2=1 \), de modo que 1 y 4 son sus propios inversos.

[rrrto2005]

A dominio me refiero a un anillo conmutativo y no tiene divisores de cero

[rrrto2005]

Hago la tabla de multiplicación pero todavía no logro entender por qué tiene que quedar igual que la de Z5

[Héctor Manuel]

Usaremos el hecho de que todo anilllo finito sin divisores de cero tiene división. Observemos la tabla de multiplicar:

\( \begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
  &0&1&a&b&c\\
\hline
0&0&0&0&0&0\\
1&0&1&a&b&c\\
a&0&a&x_1&x_2&x_3\\
b&0&b&x_2&y_1&y_2\\
c&0&c&x_3&y_2&y_3\\
\hline
\end{tabular} \)

1) Muestra que \( a^2=1 \) ó \( b^2=1 \) ó \( c^2=1 \). Digamos que \( c^2=1 \).

2) Muestra que \( ab=ba=1 \)

3) Muestra que \( bc=cb=a \) y que \( ac=ca=b \)

4) Finalmente, muestra que \( a^2=c=b^2 \).

Con esto, la tabla se verá de la forma

\( \begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
  &0&1&a&b&c\\
\hline
0&0&0&0&0&0\\
1&0&1&a&b&c\\
a&0&a&c&1&b\\
b&0&b&1&c&a\\
c&0&c&b&a&1\\
\hline
\end{tabular} \)

que claramente es isomorfa a la tabla de multiplicar de \( \mathbb{Z}_5 \), que es lo que se quería probar.

Saludos.