Sea U y V dos espacios vectoriales finito dimensionales. Probar que existe una aplicacion lineal epiyectiva de U en V si y sólo si
DIM(V)\leq{}DIM(U)
Demostrar este problema hacia un lado no es tan complicado,
sea T una aplicacion lineal inyectiva
sabemos que al ser la aplicacion inyectiva se cumple que
IM(T)=V
DIM(IM(T))=DIM(V)
ademas utilizando el teorema de la dimension para aplicaciones lineales:
DIM(U)= DIM(KER(T)) + DIM(IM(T))
Reemplazando DIM(IM(T))=DIM(V) nos queda:
DIM(U)= DIM(KER(T)) +DIM(V), y asi para transofrmar esto ultimo en una igualdad extraemos el kernel de T en la ecuacion para asi obtener la desigualdad:
DIM(U) \geq{} DIM(V) , que es la desigualdad pedida.
El problema que me surge es para demostrar la otra implicancia (dado que es doble implicancia)
Es decir a partir de que DIM(U) \geq{} DIM(V) demostrar que existe una aplicacion lineal T de U en V epiyectiva.
Intente demostrar esta segunda parte mediente el teorema de las dimensiones pero no llegue a ningun tipo de resultado, tambien se me ocurre definir una aplicacion lineal que cumple esas condiciones pero no se como realizarlo formalmente dicho proceso si es que se puede, ¿algun consejo para este ejercicio?, cualquier aporte se agradece... Saludos.
