[dgz695]

Buenas tardes. Necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Estudiar la existencia y unicidad del siguiente problema de interpolación. Buscar \( p\in \{f(x)=a+be^x+ce^{-x}: a,b,c\in\mathbb{R}\} \), conocidos \( p(x_0),p(x_1),p(x_2) \).

Un saludo y gracias de antemano.

[soneu]

Para estudiar el problema hay que estudiar la existencia y unicidad de solución del sistema

\( \left\{ \begin{array}{rcl}a+be^{x_0}+ce^{-x_0} & = & p(x_0) \\ a+be^{x_1}+ce^{-x_1} & = & p(x_1) \\ a+be^{x_2}+ce^{-x_2} & = & p(x_2) \end{array}\right. \)

o equivalentemente

\( \left\{ \begin{array}{rcl}e^{2x_0}b+e^{x_0}a+c & = & p(x_0)e^{x_0} \\ e^{2x_1}b+e^{x_1}a+c & = & p(x_1)e^{x_1} \\ e^{2x_2}b+e^{x_2}a+c & = & p(x_2)e^{x_2} \end{array}\right. \)

Este sistema tiene solución y es única (el determinante de la matriz de coeficientes es un determinante de Vandermonde).

Un saludo

[dgz695]

Lo que no sé es cómo comprobar si es CD. Al hacer el determinante me quedan cosas negativas y cosas positivas. No sé cómo demostrar que es distinto de cero.

[soneu]

Escribiendo \( u=e^{x_0}, v=e^{x_1}, w=e^{x_2} \) la matriz de coeficientes es

\( \begin{bmatrix} u^2 & u & 1 \\ v^2 & v & 1 \\ w^2 & w & 1 \end{bmatrix} \)

cuyo determinante es \( (w-v)(w-u)(v-u). \)

Un saludo

[dgz695]

Muchísimas gracias. Era incapaz de verlo.

[soneu]

Obviamente hay que suponer que los puntos \( x_0, x_1, x_2 \) son distintos. En otro caso hay solución pero no es única.

Un saludo