[Gaussa]

Hola.

1. Halla el volumen del recinto de revolución obtenido al girar sobre el eje OX la curva \( y=1/x^2 \).

Fijo \( y \in [1, + \infty) \). Tengo que el plano perpendicular a OY define círculos de radio \( 1 / \sqrt y \). Por tanto, el volumen sería \( \displaystyle\int _{1}^{\infty} \dfrac{\pi}{y} dy \), que diverge al aparecer un logaritmo. ¿En qué fallo?

2. Expresa mediante integrales el volumen del elipsoide \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}+\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1 \).

Empiezo fijando, por ejemplo, \( z \in [0,c] \) tal que \( z\mapsto S_z \). Pero, ¿quién es \(  S_z  \)? Me quedo totalmente en blanco... ¿alguna idea de cómo hacerlo?

Saludos y muchas gracias.

[Gaussa]

Hola.

He seguido intentando el ejercicio, pero aún tengo dudas...

Saludos y muchas gracias.

[pierrot]

Fijo \( y \in [1, + \infty) \). Tengo que el plano perpendicular a OY define círculos de radio \( 1 / \sqrt y \). Por tanto, el volumen sería \( \displaystyle\int _{1}^{\infty} \dfrac{\pi}{y} dy \), que diverge al aparecer un logaritmo.

¿Tu planteo no correspondería al caso en que la curva girara sobre el eje OY? Pero dice sobre el eje OX, ¿no?

2. Expresa mediante integrales el volumen del elipsoide \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}+\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1 \).

El volumen es \( \displaystyle\iiint_D dxdydz \) siendo \( D=\big\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1\big\} \). Asumiendo \( a,b,c>0 \), considera el cambio de variable:

\( \left\{\begin{array}{l}x=a\cos\phi\sen\theta \\y=b\sen\phi\sen\theta\\ z=c\cos\theta\end{matrix} \)

Saludos.

[Gaussa]

Hola PabloN, muchas gracias  .

Del primero, no me había dado cuenta de que había diferencia entre girar repecto a OX o OY. En mis apuntes viene un ejemplo respecto al OY, por lo que traté de imitarlo. ¿Qué diferencia hay? ¿Si giro sobre OX he de fijar x y si giro sobre OY, la y?

Entonces en este ejercicio, \( x \in ]- \infty, \infty[ \), así que el área sería \( \dfrac{\pi}{x^2} \), luego el volumen \( V=  \displaystyle\int _{-\infty}^{\infty} \dfrac{\pi}{x^2} dx \), y el resultado de esta integral no tiene buena pinta, así que debe estar mal lo que hago...

Y del segundo, le he estado dando vueltas, y, ¿cómo llegaste a esa conclusión?

Saludos.

[pierrot]

Del primero, no me había dado cuenta de que había diferencia entre girar repecto a OX o OY. En mis apuntes viene un ejemplo respecto al OY, por lo que traté de imitarlo. ¿Qué diferencia hay? ¿Si giro sobre OX he de fijar x y si giro sobre OY, la y?

¿Cómo dicen tus apuntes? El problema es que el sólido en cuestión es no acotado entonces perfectamente la integral que resulte puede ser divergente.

Este hilo me hace acordar a este otro pero en aquel momento el sólido de revolución era acotado.

Y del segundo, le he estado dando vueltas, y, ¿cómo llegaste a esa conclusión?

Es un cambio a esféricas "modificado" (con lo cual te va a dar distinto el jacobiano de la transformación). Pero no me queda claro si lo que se pretende con el ejercicio es plantear una integral para hallar el volumen del elipsoide (lo que implica resolver la integral) o solamente plantearla (por ejemplo, en coordenadas cartesianas).

Si es lo segundo, sería así:

\( \displaystyle \int_{-a}^a\int_{-\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}^{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}\int_{\cdots}^{\cdots}dzdydx \)

Fíjate que ni completo los límites de integración porque queda espantoso...

[Gaussa]

Hola. Muchas gracias 

Del primero, no me había dado cuenta de que había diferencia entre girar repecto a OX o OY. En mis apuntes viene un ejemplo respecto al OY, por lo que traté de imitarlo. ¿Qué diferencia hay? ¿Si giro sobre OX he de fijar x y si giro sobre OY, la y?

¿Cómo dicen tus apuntes? El problema es que el sólido en cuestión es no acotado entonces perfectamente la integral que resulte puede ser divergente.

Este hilo me hace acordar a este otro pero en aquél momento el sólido de revolución era acotado

Mis apuntes para el ejemplo (sobre el OY) imitó lo que hice en mi primer post.

Cierto, no me acordaba del hilo. En año pasado en Cálculo II me dieron las fórmulas según el eje que revolucionara (las que indico en el mensaje). Este año estoy viendo volúmenes en Integración, pero su cálculo en general, no sólo de revolución, aunque en este ejercicio tocó volumen de revolución, y sólo había un ejemplo de este tipo. La idea que me dan para el cálculo de volúmenes es que fije uno de los ejes, y calcule el área del eje perpendicular al que elegí. Pero se supone que las fórmulas de ese hilo debería deducirlas yo, que no dispongo de ellas para aplicarlas directamente.

Y haciéndolo como antes la integral no es que salga divergente, sino que sale cero. Y me extraña que no tenga volumen 

El segundo ya lo vi. Al intentar el ejercicio por primera vez daba por hecho que lo único que hay que hacer es plantear la integral y no resolverla , porque dice "expresa mediante integrales".

Saludos y muchas gracias.