[urusei]

Hola:

Tengo un problema que no consigo resolver  . Realizando un problema de probabilidad he llegado a la siguiente expresión:
\( \displaystyle\sum_{k=0}^{p}\displaystyle\binom{p}{k}^2  \)
Sé que el resultado tiene que dar:  \( \displaystyle\binom{2p}{p} \)
Pero no sé demostrarlo. Al estar el número combinatorio al cuadrado se complica.
¿Alguien me podría ayudar?
Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Un posible argumento.

 1) El número de subconjutos de \( k \) elementos de un conjunto de \( n \) elementos es \( \displaystyle\binom{n}{k} \).

 2) El número de subconjuntos de \( p \) elementos de un conjunto de \( 2p \) puede entonces calcularse como:

 2.1) \( \displaystyle\binom{2p}{p} \)

 2.2.) O bien dividiendo el conjunto en dos subconjuntos de \( p \) elementos y contando para cada \( k \) entre \( 0 \) y \( p \) cuantos subconjuntos pueden formarse con \( k \) elementos del primero y \( p-k \) del segundo. Luego sumamos todos los resultados.

 Pero el número de subconjuntos con \( k \) elementos del primero y \( p-k \) del segundo son:

\(  \displaystyle\binom{p}{k} \displaystyle\binom{p}{p-k}= \displaystyle\binom{p}{k} \displaystyle\binom{p}{k}= \displaystyle\binom{p}{k}^2 \)

 Concluye...

Saludos.

[urusei]

Muchas gracias el_manco.

Siempre con respuestas geniales. Ya me has solucionado otro problema

Saludos