[mapa]

¡Hola!
¿Cómo puedo hacer lo siguiente?
Resolver: cos(z)=(1/2)
Recuerde que cos(z) = \( (e^i^x + e^-^i^x)/2 \)

Yo haría lo siguiente:
cos(z) = \( (e^i^x + e^-^i^x)/2 \)=(1/2)
Despejando: \( (e^i^x + e^-^i^x)=1 \)
\( (cosx+isenx + (cosx-isenx)/(cos^2x+sen^2x)=1 \)
\( (cosx+isenx + (cosx-isenx)=1 \)
\( (cosx+cosx)=1 \)
\( (2cosx)=1 \)

  También he hecho los siguiente; pero siento que sólo le doy vueltas al problema.
\( (cosx)=1/2 \)
\( x=cos^-1(1/2) \)
\( x=(\pi) \) /3

¿Qué otra cosa puedo hacer?
¿Lo anterior está correcto?
¿Cómo podría concluir?
¡Gracias!

[mathtruco]

Hola mapa,

 lo primero que has hecho es darte una vuelta y llegar a lo mismo (si escribes coseno en función de la exponencial, no es la idea volver a coseno), y en la segunda has obviado que se está trabajando con complejos.


Es fácil probar que \( \cos(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2} \). Con esto:

\( \cos(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left(e^{iz}\right)^2-e^{iz}+1=0 \), la cual es una ecuación de segundo grado, y como sabes, la fórmula para encontrar raíces en un polinomio de segundo grado es igualmente válida cuando el polinomio tiene coeficientes complejos, y así:

\( e^{iz}=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \)  

queda utilizar la definición de logaritmo complejo y despejar.

[gdl]

Yo lo haría de otra forma.

Elevaría al cubo la ecuación.

\( \left(\cos{x}\right)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \)

Sustituyo la definición de coseno.

\( \frac{1}{8}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^3=\frac{1}{8} \)

Desarrollando se llega a

\( e^{3ix}+e^{-3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}=1 \)

Deshaciendo la definición de coseno

\( 2\cos{3x}+6\cos{x}=1 \)

Como sabemos que \( \cos{x}=\frac{1}{2} \) al final lo que tenemos es

\( 2\cos{3x}+3=1 \)
\( 2\cos{3x}=-2 \)
\( \cos{3x}=-1=\cos(\pi+2\pi k) \)

Y de ahí:

\( 3x=\pm\pi+2\pi k \)
\( x=(2k\pm 1)\frac{\pi}{3} \)

Al haber elevado al cubo podemos haber introducido soluciones incorrectas, por lo que tenemos que comprobar que lo que hemos obtenido es cierto. Lo primero que voy a hacer es buscar el periodo \( 2\pi \) de las soluciones.

\( x_1=\frac{\pi}{3}+2\pi k \)
\( x_2=\pi+2\pi k \)
\( x_3=\frac{5\pi}{3}+2\pi k=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \)

La solución \( x_2 \) no es correcta ya que \( \cos(x_2)=-1 \). Sólo nos quedan las soluciones \( x_1 \) y \( x_3 \).