Hola Espasa,
si el dominio de la función (o la restricción donde la estás analizando) no es cerrado y acotado no se puede afirmar que tendrá máximos o mínimos.
Como se tiene una relación entre \( x \) e \( y \): \( x+2y=12 \), puedes despejar una de ellas y reemplazarla en \( f \):
\( x=12-2y\Rightarrow f(12-2y,y)=12y-2y^2 \). Como ahora depende de sólo una variable la podemos renombrar para no confundirnos: \( F(y)=f(12-2y,y) \), y como depende de una sola variable podemos aplicar el criterio de la primera y segunda derivada:
\( F'(y)=12-4y=0\Rightarrow y=3 \) es su único punto crítico, y como \( F''(y)<0 \) es un máximo local.
Por tanto, sobre la restricción \( x+2y=12 \) la función \( f \) tiene un mínimo máximo local en \( (6,3) \) y no tiene máximo mínimo.
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PS: las palabras en rojo son una modificación posterior al envío del mensaje.
