¡Hola! Tengo una duda sobre un ejercicio y me iría bien un poco de ayuda!!
El enunciado dice así:
"Sea E un \( \mathbb{R} \)-espacio vectorial de dimensión 4 i \( B=(e_1,e_2,e_3,e_4) \) una base de E.
(a) Encontrad la dimensión de \( F=<v_1,v_2,v_3> \) donde
\( v_1=(1-a,1,1,a) \ \ v_2=(1,1-a,1,a) \ \ v_3=(1,1,1-a,a) \)
según los valores del parámetro a.
(b) Encontrad una base de \( F^{\perp} \) (según los valores de a).
(c) Encontrad la imagen del vector \( w=(5,-1,2,3)_B \) para cada una de las formas de las bases que hayáis encontrado.
(d) Para los valores de a que sea posible, definid una aplicación lineal \( f: E\longrightarrow{\mathbb{R}^3} \) tal que
\( f(F)=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3},z=0\} \)
\( Nuc(f)=<(1,1,-2,0)_B,(0,0,0,1)_B> \)"
Entonces del apartado (a) he encontrado que \( dim(F)=1 \) si a=0 y \( dim(F)=3 \) si \( a\neq{0} \).
Del (b) he encontrado para \( a=0, \ \ F^{\perp}=<(1,-1,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,1)> \) y para \( a\neq 0, \ \ F^{\perp}=<(a,a,a,a-3)> \).
Ahora, del (c) no entiendo qué piden. El vector w no pertenece a ninguno de los dos \( F^{\perp} \) que he calculado. ¿Cómo se supone que tengo que calcular la imagen? He pensado que haciendo una matriz con los vectores de la base pero tendría que ponerlos en fila para poder multiplicar y tampoco tiene sentido. ¿Quizás con la matriz de las equaciones que me han hecho encontrar la base? Aunque tampoco entiendo por qué... ¡Ayuda por favor!
Todavía no he intentado el apartado (d) aunque no me vendría mal un golpe de mano...
¡¡Gracias a todos por adelantado!!
