[Tanius]

¡Hola!

Me piden determinar la ecuación del hiperplano que pasa por los puntos \( (1,0,1,0),(2,3,1,0),(1,2,2,0) \) y \( (1,1,1,1) \).

¿En general, cómo puedo determinar la ecuación de un hiperplano en \( \mathbb{R} ^4 \)? Asumo que primero los puntos deben cumplir algo para que existe dicho hiperplano (como que no sean "colineales").

Gracias de antemano.

[Abdulai]

Cada uno de los puntos del plano debe satisfacer la ecuación  \( ax+by+cz+dw+e=0 \)  donde los coeficientes a,b,c,d y e son justamente lo que hay que hallar.


Versión matricial:

Considerando los 4 puntos  \( P_1=[1,0,1,0]\quad P_2= \cdots \) mas un 5to  \( P_5=[x,y,z,w] \)  arbitrario, para pertenecer al plano deben verificar la ecuación anterior (queda formado un sistema de 5x5).
Y para que exista solución el determinante debe ser 0.

Entonces:  \( \begin{vmatrix} x & y & z & w & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-3x+y-2z-w+5=0 \)   

[Tanius]

Aaahh, excelente.

Muchísimas gracias, Abdulai