[Gaussa]

Hola.

Estoy estudiando los conjuntos de medida nula, y me gustaría saber qué tal estoy haciendo los ejercicios.

1. Encuentra algún subconjunto de \( \mathbb{R} \) que sea de medida nula y no de contenido nulo.

Había pensado en \( \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z} \), que son numerables, luego son de medida nula. Pero no están acotados, por lo que no serán de contenido nulo. Si lo he hecho bien, ¿alguien sabría alguno más?

2. Prueba que si \( N \) es de medida nula y \( M \subset{N} \), entonces \( M \) también es de medida nula.

Este es directamente de la definición, ¿no? No hay que probar nada, ¿no? Es que lo veo tan sencillo que no me fío  Por otra parte, respecto al anterior, \( \mathbb{R} \) es de medida nula, ¿no? Si es así, cualquier subconjunto suyo lo sería, ¿no es cierto?

3. El conjunto de los racionales del intervalo \( [0,1] \) es un conjunto numerable luego es de medida nula. Explicita un recubrimiento numerable de este conjunto, formado por intervalos, cuya longitud total sea menor que \( \epsilon>0 \) previamente fijado. Haz lo mismo para una sucesión \( (a_n)_n \) de números reales numerable.

Había pensado en los intervalos de la forma \( \left( \displaystyle\frac{k}{n}, \displaystyle\frac{k+2}{n}\right) \), con \( k=-1,0,1, \ldots, n \), que son abiertos, acotados, y recubren \( [0,1] \). Pero su longitud es \( \displaystyle\frac{2}{n} \), por lo que la suma de todos sería \( \displaystyle\frac{2(n+1)}{n}= 2+\displaystyle\frac{2}{n} \). Entonces, si tomo \( \epsilon=2+\displaystyle\frac{2}{n} \) lo tendría. Dicen "\( \epsilon \) previamente fijado", así que supongo que lo tendré que dar yo. Pero para que sea de medida nula debe ser "para cada epsilon mayor que cero", luego el epsilon debería ser un número cualquiera cuyo límite fuera cero, ¿no? Entonces el intervalo que he dado no sirve, debería buscar un epsilon de la forma \( 1/n \) o así.

¿Alguna idea? Por más que busco no encuentro intervalos que recubran \( [0,1] \)  que cumplan lo que acabo de decir. Los que he encontrado, o cumplen una cosa, o la otra  . El de las sucesiones que también me piden pregunto por él cuando tenga este claro del todo...

Saludos y muchas gracias.

[Tanius]

Había pensado en \( \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z} \), que son numerables, luego son de medida nula.

Correcto.

Este es directamente de la definición, ¿no? No hay que probar nada, ¿no?

No sé qué tan directo consideres tú que lo sea.

\( \mathbb{R} \) es de medida nula

 

Haz lo mismo para una sucesión \( (a_n)_n \) de números reales numerable.

Dada \( \epsilon  \) positiva, sea \( I_n= (a_n-\epsilon /2^{n+2}, a_n+\epsilon /2^{n+2}) \) para cada \( n\ge 1 \). La suma de todas las longitudes es menor que \( \epsilon \).

[Gaussa]

Hola Tanius, muchas gracias.

Este es directamente de la definición, ¿no? No hay que probar nada, ¿no?

No sé qué tan directo consideres tú que lo sea.

Pues así:

Un conjunto es de medida nula si puede ser recubierto con un número finito o infinito numerable de intervalos abiertos y acotados cuya longitud total sea tan pequeña como queramos. Si \( N \) es de medida nula y \( M \subset N \), los mismos intervalos que recubren a \( N \), recubrirán a \( N \), luego es de medida nula también.

\( \mathbb{R} \) es de medida nula

 

Eso pensé... ¿qué le falla para no serlo?

Y, ¿qué opinas de esto?

3. El conjunto de los racionales del intervalo \( [0,1] \) es un conjunto numerable luego es de medida nula. Explicita un recubrimiento numerable de este conjunto, formado por intervalos, cuya longitud total sea menor que \( \epsilon>0 \) previamente fijado.

Había pensado en los intervalos de la forma \( \left( \displaystyle\frac{k}{n}, \displaystyle\frac{k+2}{n}\right) \), con \( k=-1,0,1, \ldots, n \), que son abiertos, acotados, y recubren \( [0,1] \). Pero su longitud es \( \displaystyle\frac{2}{n} \), por lo que la suma de todos sería \( \displaystyle\frac{2(n+1)}{n}= 2+\displaystyle\frac{2}{n} \). Entonces, si tomo \( \epsilon=2+\displaystyle\frac{2}{n} \) lo tendría. Dicen "\( \epsilon \) previamente fijado", así que supongo que lo tendré que dar yo. Pero para que sea de medida nula debe ser "para cada epsilon mayor que cero", luego el epsilon debería ser un número cualquiera cuyo límite fuera cero, ¿no? Entonces el intervalo que he dado no sirve, debería buscar un epsilon de la forma \( 1/n \) o así.

¿Alguna idea? Por más que busco no encuentro intervalos que recubran \( [0,1] \)  que cumplan lo que acabo de decir. Los que he encontrado, o cumplen una cosa, o la otra  .

El de las sucesiones que has escrito ya lo entendí.

Saludos.

[Tanius]

Un conjunto es de medida nula si puede ser recubierto con un número finito o infinito numerable de intervalos abiertos y acotados cuya longitud total sea tan pequeña como queramos. Si \( N \) es de medida nula y \( M \subset N \), los mismos intervalos que recubren a \( N \), recubrirán a \( N \), luego es de medida nula también.

Correcto.

Eso pensé... ¿qué le falla para no serlo?

Pues de la pura intuición debería ser claro que \( \mathbb{R} \) no tiene medida cero. Aquí hay una demostración de que un intervalo cerrado no tiene medida cero, página 88
http://fejer.ucol.mx/cursos2/wp-content/uploads/2011/03/VariasVar-Cap5.pdf

Y, ¿qué opinas de esto?

El \( \epsilon \) es arbitrario fijo.

[Gaussa]

Hola. Muchas gracias 

El \( \epsilon \) es arbitrario fijo.

¿Valdría hacer una partición \( P=0<\displaystyle\frac{1}{n}<\displaystyle\frac{2}{n}< \ldots < \displaystyle\frac{n}{n}=1 \) del intervalo?

Entonces tomaría los intervalos abiertos y acotados \( (x_1-\epsilon/4n, x_1+ \epsilon/4n), (x_2-\epsilon/4n, x_2+ \epsilon/4n), \ldots,  (x_n-\epsilon/4n, x_n+ \epsilon/4n) \).

La suma de ellos sería \( \displaystyle\frac{\epsilon}{2}<\epsilon \).

Añado. No, esto no puede ser. Habría demostrado que [0,1] es de medida nula y me acabas de enseñar la demostración de que un conjunto cerrado no tiene medida cero. ¿Alguna idea de cómo hacerlo?

Saludos.

[Tanius]

Simplemente toma una enumeración de los racionales.

[Gaussa]

Simplemente toma una enumeración de los racionales.

Lo he intentado, pero no veo la numeración 

Muchas gracias.

[Tanius]

No es posible dar una enumeración explícita. Pero a estas alturas yo creo que ya puedes usar que \( \mathbb{Q} \) y \( \mathbb{N} \) son biyectables.