Saludos amigos. En el siguiente problema me dan la aplicación lineal \( f: \mathbb{R}[x]_m \to \mathbb{R}^n \) definida por \( f((p(x))=(p(a_1), \cdots , p(a_n)) \), siendo \( a_1, \cdots , a_n \) números reales diferentes entre sí. Me piden en primer lugar la matriz de la aplicación en las bases usuales. El espacio \( \mathbb{R}[x]_m \) tiene por base \( \{ 1,x,x^2 , \cdots , x^m \} \) y una base del espacio \( \mathbb{R}^n \) es \( \{ e_1 , \cdots , e_n \} \), por lo que si no me he equivocado la matriz de la aplicación en estas bases es
\( \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1 ^ m \\ 1 & a_2 & a_2 ^2 & \cdots & a_2 ^ m \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n ^m \end{pmatrix} \in M_{n \times (m+1) } (\mathbb{R}) \)
La dificultad reside en la siguiente cuestión, donde me piden calcular la dimensión del núcleo y de la imagen de f en función de m y n. Sé que si m+1=n, entonces la matriz es cuadrada, el determinante es el de Vandermonde y por ser los \( a_i \) diferentes la matriz es invertible. No obstante, no sé muy bien qué criterio seguir para calcular, de modo general y en función de m y n, el rango de la matriz.
Agradezco de antemano vuestra posible ayuda.
¡Un saludo!
