[Lilaforo]

Hola estoy aplicando el teorema de Cayley Hamilton, pero no entiendo una factorización que es presentada como obvia del polinomio característico. Envío el adjunto. Gracias.

Sea \( H \) de tamaño \( n\times n \) una matriz simétrica y \( \pi(\lambda)=\det(H-\lambda I) \); siempre puede factorizarse como

\( \pi(\lambda)=\alpha \lambda^k(I-\lambda \varphi (\lambda)) \)

donde \( n-k \) es el rango de \( H \).

Adjunto texto.

[feriva]

Hola estoy aplicando el teorema de Cayley Hamilton, pero no entiendo una factorización que es presentada como obvia del polinomio característico. Envío el adjunto. Gracias.

Sea \( H \) de tamaño \( n\times n \) una matriz simétrica y \( \pi(\lambda)=\det(H-\lambda I) \); siempre puede factorizarse como

\( \pi(\lambda)=\alpha \lambda^k(I-\lambda \varphi (\lambda)) \)

donde \( n-k \) es el rango de \( H \).

Adjunto texto.

 Hola, Lilaforo. Así según lo veo, y sin papel y lápiz, yo tampoco sé que es eso, pero te puedo ayudar para que lo descubras.

 Tú llegas ahí y te encuentras, principalmente, una función fi de lambda que no sabes muy bien cómo es. Si piensas en el valor de k también te nubla la vista porque puede tener muchos valores, y ya no sabes por dónde seguir.

 Sin embargo, puedes elegir estudiar un caso particular para ver qué forma tiene fi en ese caso, puedes elegir que el rango de H sea igual a la dimensión de H. Entonces, en ese caso ya sí sabes que k=0, y también sabes que el coeficiente de la lambda de mayor grado sólo puede ser 1 ó -1 (según expreses con signos alternados el polinomio). Luego, puesto que sabes cuál es la expresión general del polinomio característico, igualando, ahora puedes encontrar quién es fi de lambda para ese caso particular y, a partir de ahí, me da la impresión de que lo entenderás en general (ya te digo que ahora no tengo papel y lápiz, no lo he hecho).

Saludos.

[Lilaforo]

Gracias por la respuesta, pero he intentado generalizar y no se como hacerlo. Si podría colaborarme con una ayuda escrita, te lo agradecería enormemente.

[feriva]

Gracias por la respuesta, pero he intentado generalizar y no se como hacerlo. Si podría colaborarme con una ayuda escrita, te lo agradecería enormemente.

Hola, Liafaro. Voy a explicarte todo lo que sé y lo que se me ocurre decirte:

  Esto \( \lambda \varphi (\lambda)) \) es un polinomio en lambda que tendrán un cierto grado y unos coeficientes. Si planteas el caso particular que digo, como \( \lambda ^0 =1 \), ese polinomio fi de lambda tiene que ser de grado \( n-1 \) puesto que está multiplicado por \( \lambda \) y va a aumentar el grado de cada sumando.

 Por otra parte \( \alpha \) multiplica por la distributiva a la identidad “I” y al otro sumando, en el cual están todos los sumandos dependientes de lambda del polinomio, luego \( \alpha I \) tiene que ser, por fuerza, el término independiente en el polinomio expresado según la forma de Cayley-Hamilton, y \( \alpha \) tiene que ser el término independiente en el polinomio en lambda (por cierto y dicho sea de paso, el término independiente de un polinomio característico es el determinante de la matriz, en este caso H).

Ahora vamos al otro sumando, que queda así: \( \alpha \lambda \varphi (\lambda) \).

Bien, pues \( \lambda \varphi (\lambda) \) nos dará el polinomio característico sin el término independiente y con los coeficientes partidos, divididos, por \( \alpha \) (quizá esto es una de las cosas que te costaba ver)

 Todo esto en el caso particular que te digo. En otro caso, el lambda de fuera ya no estará elevado a cero y no habrá término independiente, o sea, el término independiente será cero que implica que el determinante de la matriz “H” es cero en ese caso.


 Saludos.

[feriva]

No obstante, si aún no lo entiendes, lo desarrollo en latex, pero por favor intenta entenderlo con eso que te digo, haz un esfuerzo, que en latex es bastante pesado, como todos los desarrollos generales, y no ando con los ojos para mucha gimnasia 

Un cordial saludo.

[Lilaforo]

Muchas gracias por tu ayuda....voy a trabajar en base a tu ayuda.