[mática]

El otro día me plantearon este estudiar el carácter abierto o cerrado del siguiente subconjunto de \(  \mathbb{R2}  \) :
A =   \( \{(x,y) \in{R2} \) / y= \( \frac{x}{n}\ , n\in{N} \}
Por convergencia razono que si cogemos la sucesión convergente \{ (x, x/n)\} \subset{A} \) , su límite es el punto (x, 0), que no pertenece a A, por tanto el conjunto no es cerrado.
Por otra parte, probando que el  complementario es abierto, o probando que la adherencia de A es el propio conjunto A, entonces tendríamos que A es cerrado en \( \mathbb{R2} \).

Entonces es cerrado o no es cerrado? donde está el fallo y porque?

Un saludo (:

[Gustavo]

Por convergencia razono que si cogemos la sucesión convergente \( \{ (x, x/n)\} \subset{A} \), su límite es el punto (x, 0), que no pertenece a A, por tanto el conjunto no es cerrado.

Bien. Como no es cerrado, su complemento no es abierto, luego no puedes probar lo siguiente que dices:

Por otra parte, probando que el  complementario es abierto, o probando que la adherencia de A es el propio conjunto A, entonces tendríamos que A es cerrado en  \( \mathbb{R}^2 \).

Por otro lado, \( A \) tampoco es abierto. Considera \( (0,0)\in A. \) Cualquier vecindad del origen va a contener algún punto de la forma \( (x,0), \) para \( x\neq 0, \) y éste no pertenece a \( A. \)

[mática]

Bueno el problema era ése, que hicimos esos ejercicios cuando no aun no habiamos dado convergencia, entonces yo le razoné por puntos adherentes que era cerrado y me puso que estaba bien, pero a la semana siguiente lo hizo por convergencia y demostró que no era cerrado.

[Gustavo]

... hicimos esos ejercicios cuando no aun no habiamos dado convergencia, entonces yo le razoné por puntos adherentes que era cerrado y me puso que estaba bien...

¿Qué razonamiento hiciste? El conjunto no es cerrado.

[Gustavo]

El complemento de \( A \) no es abierto.

Puedes considerar cualquier bola abierta alrededor de un punto \( (x,0) \) (con \( x\neq 0 \)) y ver que hay puntos de la forma \( (x,\frac{x}{n}) \) en ella.

[mática]

Yo le puse que la adherencia de A era el propio A, y por lo tanto el conjunto era cerrado. Y luego que el conjunto A contiene a todos sus puntos de acumulacion, por eso es cerrado. Pero no se porque no es asi 

[Gustavo]

Es que ésto

Yo le puse que la adherencia de A era el propio A, y por lo tanto el conjunto era cerrado.

no es cierto. Como ya viste, todos los puntos de la forma \( (x,0) \) no están en \( A, \) pero tienen una sucesión de puntos de \( A \) que convergen a ellos y por tanto son puntos de adherencia.

Excepto \( x=0, \) pero es suficiente que uno sea de adherencia y no esté en el conjunto para que no sea cerrado.