[reinaldo]

Si G es un grupo finito de orden impar y H un subgrupo de G de índice 3.
Demuestre que H es normal en G.

Alguna idea? En el libro donde sale dice que hay que analizar primero donde vive g^2. Creo que la idea es que g^2 no viva en H ni en gH cuando g no pertenece a H, para así poder escribir g^2*h como la tercera clase, o sea, G=(H) U (gH) U (g^2H). Pero no logro demostrarlo ni no sé donde poder ocupar que G tenga orden impar. Toda ayuda es bienvenida

[teeteto]

Puedes considerar el normalizador en \( G \) de \( H \), \( N_G(H)=\{ g\in G\ |\ g^{-1}Hg\leq H\} \).

Obviamente se tiene que:

\( H\leq N_G(H)\leq G \)

Y como \( [G:H]=3 \) sólo hay dos posibilidades: \( N_G(H)=H \) o bien \( N_G(H)=G \). Para ver que \( H \) es normal, hay que ver que la que se da es la segunda opción.

Mira a ver por ahí...