[mapa]

¡Hola!
Espero puedan ayudarme a resolver el siguiente problema:

Sean a=(1,-2,2) y b(6,-6,0) vectores en \( \mathbb{R}^3 \)
1.- Encuentra un conjunto \( {\bar{a},\bar{b}} \) ortonormal tal que \( \left<{a,b}\right>= \){a,b}
2.- Encuentra todos los vectores \( \bar{x}\in{\left<{a,b}\right>} \) que tienen longitud 2 y forman un ángulo de 60 grados con a.

Lo que veo es que el generado \( \left<{a,b}\right> \)= un plano que pasa por el origen y contiene a los puntos a y b. Obteniendo la ecuación de ese plano. \( P={(0,0,0)+s(1,-2,2)+t(6,-6,0) | s,t \in{\mathbb{R}^3} \)

Sé que para que un vector sea ortonormal a otro es necesario que el producto punto de ellos sea igual a cero. Y que además cada vector tenga norma uno. Sin embargo, no sé cómo usar este hecho en el problema o qué otra cosa puedo hacer. En cuanto a la parte 2, aún no sé cómo proceder.

Espero sugerencias. ¡Gracias!

[soneu]

Hola.

Para la primera parte usa el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Es decir, considera \( \overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{a} \) y \( \overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}} \overrightarrow{a} . \) Fíjate que  \( \{\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\} \) es una base ortogonal. Para conseguir la base ortonormal simplemente divides cada uno por su módulo.

Para la segunda parte considera la base ortonormal \( \{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\} \) que obtuviste antes. (Observa que \( \overrightarrow{v_1}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} \)). Escribes un vector cualquiera del plano como \( x\{\overrightarrow{v_1}+y\overrightarrow{v_2}\}. \) Para que forme un ángulo de \( 60^{\circ} \) con \( \overrightarrow{a} \) (es decir, con \( \overrightarrow{v_1} \)) se debe cumplir \( x=\cos 60^{\circ}. \) Para que tenga módulo \( 2 \) debe ser \( \sqrt{x^2+y^2}=2. \) Esto te permite obtener los dos valores posibles de \( y. \)

Un saludo